홍라이프 계산기드브로이 파장 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
움직이는 모든 입자는 어느 정도 파동처럼 행동하며, 드브로이 파장은 그 파동의 길이를 알려 줍니다. 이 계산기는 질량과 속력을 넣으면 파장을 나노미터로 구합니다. 화학·물리 수업은 물론, 전자와 중성자가 결정에서 회절하는 이유, 전자 현미경이 광학 현미경보다 훨씬 작은 구조를 볼 수 있는 이유를 이해할 때 씁니다.
계산 방법
λ = h / p = h / (m × v)
h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s는 플랑크 상수(SI 정의값)이고, m은 질량(kg), v는 속력(m/s), p = mv는 운동량입니다. 미터로 나온 결과에 10⁹을 곱해 nm로 보여 줍니다. 기본 질량 9.109 × 10⁻³¹ kg은 전자의 질량입니다. 이 식은 p = mv를 쓰는 비상대론적 식이므로 속력이 빛보다 충분히 느릴 때 정확합니다.
원리
1924년 드브로이는 광자에 대해 알려져 있던 p = h/λ 관계가 물질 입자에도 성립한다고 제안했습니다. 운동량이 클수록 파장은 짧아집니다. 일상의 물체는 파장이 터무니없이 작아 파동성이 드러나지 않지만, 질량이 아주 작은 전자는 결정 속 원자 간격과 비슷한 파장을 가집니다. 1927년 데이비슨과 저머, 그리고 G. P. 톰슨이 각각 전자 회절을 관측해 이를 확인했습니다. 단순한 그림에서는 파장이 정수 배로 맞아떨어지는 궤도만 안정하다는 생각이 원자의 불연속적인 에너지 준위와도 이어집니다.
예제 풀이
- 입력값: m = 9.109 × 10⁻³¹ kg(전자), v = 1 × 10⁶ m/s입니다.
- 운동량 p = 9.109 × 10⁻³¹ × 10⁶ = 9.109 × 10⁻²⁵ kg·m/s입니다.
- λ = 6.62607015 × 10⁻³⁴ ÷ 9.109 × 10⁻²⁵ = 7.2742 × 10⁻¹⁰ m = 0.7274 nm입니다.
이 전자의 운동 에너지는 ½mv² ≈ 4.55 × 10⁻¹⁹ J, 약 2.84 eV입니다.
| 질량 (kg) | 파장 (nm) |
|---|---|
| 2.28e-31 | 2.909680602 |
| 4.55e-31 | 1.454840301 |
| 6.83e-31 | 0.9698935339 |
| 9.11e-31 | 0.7274201504 |
| 1.14e-30 | 0.5819386758 |
| 1.37e-30 | 0.4849467669 |
| 1.82e-30 | 0.3637100752 |
결과 해석
0.1~1 nm 정도의 파장은 원자 간 거리와 비슷하므로 결정에서 회절이 일어납니다. 100 V로 가속한 전자의 파장은 약 0.123 nm입니다. 0.15 kg 공이 40 m/s로 날아가면 파장이 10⁻³⁴ m 정도로 측정할 수 없을 만큼 작아서, 큰 물체에는 고전 역학이 잘 맞습니다.
흔한 실수
- 질량을 kg이 아닌 g이나 원자 질량 단위로 넣는 경우입니다.
- 빛의 속력의 10%를 넘는 빠른 입자에 상대론적 운동량 없이 쓰는 경우입니다.
- 드브로이 파장을 입자의 크기로 오해하는 경우입니다.
자주 묻는 질문
운동 에너지로 파장을 구하려면 어떻게 하나요?
비상대론적 입자라면 p = √(2mE)로 운동량을 구한 뒤 λ = h/p를 계산합니다.
속력이 같다면 무거운 입자의 파장이 더 긴가요?
아닙니다. 질량이 크면 운동량이 커지므로 파장은 더 짧습니다.
중성자도 결정 구조 연구에 쓰이나요?
네. 열중성자는 약 0.18 nm 안팎의 파장을 가지며 원자핵과 상호작용하므로 X선을 보완합니다.
출처: L. de Broglie, Recherches sur la théorie des quanta, doctoral thesis, Paris (1924) · C. Davisson and L. H. Germer, Physical Review 30, 705 (1927)