델타(Δ) ⇄ 와이(Y) 변환 계산기

Δ–Y 변환 계산 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

불평형 브리지처럼 직렬·병렬 규칙만으로는 정리할 수 없는 저항 회로망이 있습니다. Δ–Y 변환(Π–T 변환이라고도 합니다)은 삼각형으로 연결된 세 저항을 별 모양으로 연결된 세 저항으로, 또는 그 반대로 바꾸면서 세 단자에서 바라본 회로의 성질은 그대로 유지합니다. 회로망 해석, 삼상 전력 계산, 필터 설계에 씁니다.

계산 방법

Δ → Y 변환, ΣR = Rab + Rbc + Rca일 때:

• Ra = Rab · Rca / ΣR
• Rb = Rab · Rbc / ΣR
• Rc = Rbc · Rca / ΣR

Y → Δ 변환, P = Ra·Rb + Rb·Rc + Rc·Ra일 때:

• Rab = P / Rc
• Rbc = P / Ra
• Rca = P / Rb

Δ에서 Rab는 단자 a와 b 사이의 저항이고, Y에서 Ra는 단자 a와 중성점 사이의 저항입니다. 값은 모두 Ω으로 입력합니다.

원리

세 번째 단자를 열어 둔 채 어느 두 단자 사이를 재도 저항이 같으면 두 회로망은 등가입니다. a와 b 사이에서 Y는 Ra + Rb이고, Δ는 Rab와 (Rbc + Rca)의 병렬입니다. 세 쌍에 대해 이 식을 세워 풀면 위 공식이 나옵니다. Y의 각 저항은 그 단자에 닿은 Δ 저항 두 개의 곱을 세 저항의 합으로 나눈 값이고, Δ의 각 저항은 Y 저항을 두 개씩 곱한 합을 맞은편 Y 저항으로 나눈 값이라고 기억하면 쉽습니다. 이 변환은 1899년 아서 케넬리가 발표했습니다.

예제 풀이

1. 입력값은 Rab = 30 Ω, Rbc = 60 Ω, Rca = 90 Ω이고 Δ → Y 변환입니다.
2. ΣR = 30 + 60 + 90 = 180 Ω입니다.
3. Ra = 30 × 90 / 180 = 15 Ω입니다.
4. Rb = 30 × 60 / 180 = 10 Ω입니다.
5. Rc = 60 × 90 / 180 = 30 Ω입니다.
6. a–b 사이를 검산하면 Y는 15 + 10 = 25 Ω, Δ는 30 × 150 / 180 = 25 Ω으로 같습니다.

결과 해석

변환한 세 저항은 단자에서 볼 때 원래 세 저항과 정확히 같으므로 나머지 회로에는 아무 영향이 없습니다. 세 저항이 모두 같은 평형 회로망이면 R_Y = R_Δ / 3, R_Δ = 3 · R_Y로 간단해집니다. 평형 삼상 부하에서 Δ 결선과 Y 결선을 바꿀 때 나오는 3배 관계가 바로 이것입니다.

흔한 실수

• 저항을 잘못 짝짓는 경우입니다. Y의 각 저항에는 그 단자에 닿은 Δ 저항 두 개를 씁니다.
• Y → Δ에서 엉뚱한 저항으로 나누는 경우입니다. 구하려는 Δ 저항의 맞은편 Y 저항으로 나눕니다.
• 회로망 내부의 전류까지 같다고 생각하는 경우입니다. 단자에서의 동작만 같습니다.

자주 묻는 질문

Δ–Y 변환은 언제 필요한가요?

불평형 브리지처럼 삼각형이나 별 모양 연결 때문에 직렬·병렬로 정리할 수 없을 때 필요합니다.

축전기나 코일에도 쓸 수 있나요?

네. 한 주파수에서 복소 임피던스로 계산하면 됩니다.

왜 Π–T 변환이라고도 부르나요?

한 변을 아래로 눕혀 그린 Δ는 Π 모양, Y는 T 모양으로 보이기 때문입니다.

출처: A. E. Kennelly, "The equivalence of triangles and three-pointed stars in conducting networks", Electrical World and Engineer 34 (1899) · C. K. Alexander and M. N. O. Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits, McGraw-Hill