홍라이프 계산기확산 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
확산은 분자가 농도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 저절로 퍼져 나가는 현상입니다. 이 계산기는 픽의 제1법칙으로 막이나 층을 통과하는 정상 상태의 확산 플럭스를 구하고, 주어진 시간 동안 분자가 대략 얼마나 멀리 퍼지는지도 함께 보여 줍니다. 산소가 막을 통과하는 속도, 젤 속 색소가 번지는 거리, 저어 주지 않아도 섞이는지 등을 판단할 때 씁니다.
계산 방법
- 플럭스: J = D × ΔC ÷ Δx입니다. 픽의 제1법칙 J = −D dC/dx의 크기에 해당합니다. D는 확산계수(m²/s), ΔC는 농도 차(mol/m³), Δx는 두께이며 입력한 mm 값을 1,000으로 나누어 m로 바꿉니다. 결과 단위는 mol/(m²·s)로, 1초 동안 1 m²를 지나가는 물질의 양입니다.
- 확산 거리: L = √(2Dt)이며 t는 초 단위입니다. m로 나온 값에 1,000을 곱해 mm로 표시합니다.
원리
분자는 끊임없이 충돌하며 무작위로 움직입니다. 분자가 많은 쪽에서는 바깥으로 나가는 분자가 들어오는 분자보다 많으므로, 결과적으로 농도가 낮은 쪽으로 알짜 흐름이 생깁니다. 픽의 법칙은 이 흐름이 농도 기울기에 비례한다는 뜻이고, 음의 부호는 높은 곳에서 낮은 곳으로 흐른다는 의미입니다. 두 번째 식은 무작위 걸음에서 나옵니다. 한 방향의 평균제곱변위가 ⟨x²⟩ = 2Dt로 시간에 비례하므로, 거리는 시간의 제곱근에 비례합니다. 거리를 두 배로 늘리려면 시간이 네 배 걸립니다.
예제 풀이
- 입력값: D = 2 × 10⁻⁹ m²/s(물속 작은 분자 수준), ΔC = 100 mol/m³, Δx = 1 mm = 0.001 m, t = 3,600 s입니다.
- 농도 기울기는 100 ÷ 0.001 = 100,000 mol/m⁴입니다.
- 플럭스는 2 × 10⁻⁹ × 100,000 = 0.0002 mol/(m²·s)입니다.
- 확산 거리는 √(2 × 2 × 10⁻⁹ × 3,600) = √(1.44 × 10⁻⁵) ≈ 0.003795 m = 3.794733 mm입니다.
| 거리 (mm) | 확산 플럭스 (mol/m²·s) |
|---|---|
| 0.25 | 0.0008 |
| 0.5 | 0.0004 |
| 0.75 | 0.0002666667 |
| 1 | 0.0002 |
| 1.25 | 0.00016 |
| 1.5 | 0.0001333333 |
| 2 | 0.0001 |
결과 해석
액체 속 작은 분자의 D는 대략 10⁻⁹ m²/s여서 한 시간에 몇 mm밖에 퍼지지 않고, 10 cm 비커 전체로 퍼지려면 몇 달이 걸립니다. 공기 중 기체는 D가 10⁻⁵ m²/s 안팎으로 약 1만 배 빠릅니다. 층이 얇을수록 플럭스가 커지므로 폐, 아가미, 촉매는 얇은 막과 넓은 표면적을 갖습니다. 전체 이동량은 J에 면적을 곱해 구합니다.
흔한 실수
- D를 cm²/s로 넣는 경우입니다. 1 cm²/s = 10⁻⁴ m²/s입니다.
- 거리 입력이 m가 아니라 mm라는 점을 놓칩니다.
- 확산 거리가 시간에 정비례한다고 생각하지만 실제로는 √t에 비례합니다.
자주 묻는 질문
√(2Dt)에서 2는 왜 붙나요?
1차원 무작위 걸음의 결과입니다. 3차원으로 퍼질 때는 평균제곱거리가 6Dt이므로 √(6Dt)를 씁니다.
온도가 오르면 확산계수는 어떻게 되나요?
커집니다. 액체에서는 스토크스-아인슈타인 식 D = kT/(6πηr)에 따라 점도가 낮고 분자가 작을수록 빨리 확산합니다.
픽의 제2법칙은 무엇인가요?
농도가 시간에 따라 변하는 과정을 다루는 식 ∂C/∂t = D ∂²C/∂x²로, 아직 정상 상태에 이르지 않았을 때 사용합니다.
출처: A. Fick, "Ueber Diffusion", Annalen der Physik 94 (1855) · E. L. Cussler, Diffusion: Mass Transfer in Fluid Systems, Cambridge University Press · R. B. Bird, W. E. Stewart, E. N. Lightfoot, Transport Phenomena, Wiley