홍라이프 계산기무차원수 계산기(Nu, Pr, Bi, Fo) 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
열전달에서는 무차원수를 써서 문제를 표현하므로, 한 가지 크기나 유체, 속도에서 얻은 결과를 다른 조건에도 적용할 수 있습니다. 이 계산기는 열전달계수, 대표 길이, 기본 물성값으로 가장 많이 쓰이는 누셀트 수, 프란틀 수, 비오 수, 푸리에 수를 계산합니다.
계산 방법
- 누셀트 수: Nu = h·L / k_유체. 유체층을 통한 순수 전도에 대한 대류 열전달의 비입니다.
- 프란틀 수: Pr = c_p·μ / k. 유체의 운동량 확산과 열 확산의 비입니다.
- 비오 수: Bi = h·L / k_고체. 고체 내부 전도 저항과 표면 대류 저항의 비입니다.
- 푸리에 수: Fo = α·t / L². 비정상 열전도의 무차원 시간입니다(α는 m²/s, t는 s, L은 m).
Nu와 Bi는 식의 꼴이 같지만 쓰는 열전도율이 다릅니다. 그래서 계산기는 유체의 k(Nu용)와 고체의 k_s(Bi용)를 따로 입력받습니다.
원리
무차원수는 서로 경쟁하는 두 효과의 비입니다. Nu가 크면 흐름이 정지 유체보다 열을 훨씬 잘 운반한다는 뜻이며, Nu = 1은 순수 전도에 해당합니다. Pr은 속도와 온도의 변화가 퍼지는 빠르기를 비교하므로 속도 경계층과 온도 경계층의 상대적 두께를 결정합니다. Bi는 고체가 고르게 데워지는지(작은 Bi) 내부에 온도 차가 생기는지(큰 Bi)를 알려 줍니다. Fo는 열이 물체 속으로 얼마나 깊이 확산했는지를 나타냅니다. 자연대류를 좌우하는 그라스호프 수 Gr = gβΔT·L³/ν²는 팽창계수와 동점성계수가 필요하여 여기서는 계산하지 않습니다.
예제 풀이
- 입력값: h = 50 W/m²K, L = 0.05 m, k = 0.6 W/m·K, c_p = 4180 J/kg·K, μ = 0.001 Pa·s, α = 1.4 × 10⁻⁷ m²/s, t = 60 s(상온의 물과 비슷한 물성)
- Nu = 50 × 0.05 ÷ 0.6 ≈ 4.167
- Pr = 4180 × 0.001 ÷ 0.6 ≈ 6.967
- Bi = 50 × 0.05 ÷ 0.6 ≈ 4.167(기본 k_s도 0.6이라 Nu와 같은 값)
- Fo = 1.4 × 10⁻⁷ × 60 ÷ 0.05² = 0.00336
| 유체 열전도율 k_f (W/m·K) | 누셀 수 Nu = hL/k |
|---|---|
| 0.15 | 16.66666667 |
| 0.3 | 8.333333333 |
| 0.45 | 5.555555556 |
| 0.6 | 4.166666667 |
| 0.75 | 3.333333333 |
| 0.9 | 2.777777778 |
| 1.2 | 2.083333333 |
결과 해석
Pr은 공기 약 0.7, 20 °C 물 약 7, 기름은 수백 이상입니다. Bi < 0.1이면 고체 온도를 균일하다고 보는 집중 열용량법을 쓸 수 있습니다. 이 예처럼 Fo가 작으면 열이 표면 근처의 얇은 층까지만 들어간 상태이며, Fo가 약 0.2를 넘으면 비정상 열전도의 1항 근사해가 대체로 정확해집니다.
흔한 실수
- k_s를 기본값 0.6으로 둔 채 고체의 열전도율(강철 약 50, 알루미늄 약 200 W/m·K)을 넣지 않는 경우
- 대표 길이를 일관성 없이 잡는 경우(집중 해석은 부피/면적, 관은 지름)
- 점성계수(Pa·s)와 동점성계수(m²/s)를 혼동하는 경우
- 물성값을 엉뚱한 온도에서 읽는 경우
자주 묻는 질문
Nu로부터 h는 어떻게 구하나요?
h = Nu·k / L로 구하며, Nu는 난류 관내 유동의 디터스–뵐터 식처럼 알맞은 상관식에서 얻습니다.
프란틀 수는 왜 형상과 무관한가요?
유체의 물성만으로 이루어져 있으므로 주어진 온도에서 유체 고유의 값이기 때문입니다.
출처: Incropera, DeWitt, Bergman and Lavine, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, Wiley · Bird, Stewart and Lightfoot, Transport Phenomena, Wiley