도플러 효과 계산기 (소리)

도플러 효과 계산기(소리) 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

도플러 효과는 음원과 듣는 사람이 서로 움직일 때 들리는 진동수가 달라지는 현상입니다. 구급차 사이렌이 다가올 때는 높게, 지나간 뒤에는 낮게 들리는 것이 대표적인 예입니다. 음원의 진동수, 음원과 관찰자가 서로를 향해 움직이는 속력, 음속을 넣으면 다가올 때와 지나간 뒤의 진동수를 구해 줍니다. 물리 수업, 음향 분석, 속도 측정 레이더의 원리, 의료 초음파를 이해할 때 씁니다.

계산 방법

• 다가올 때: f′ = f · (c + v_o) ÷ (c − v_s)
• 지나간 뒤(서로 멀어질 때): f″ = f · (c − v_o) ÷ (c + v_s)
• f는 음원의 진동수(Hz), c는 음속(m/s), v_s는 음원의 속력, v_o는 관찰자의 속력이며 둘 다 상대방을 향할 때 양수로 넣습니다. 속력은 정지한 공기를 기준으로 합니다.

원리

움직이는 음원은 자신이 낸 파동을 뒤쫓아 갑니다. 한 주기 T 동안 v_s·T만큼 나아가므로 앞쪽의 파면 간격이 좁아져 파장이 (c − v_s)/f가 되고, 파동은 여전히 c로 퍼지므로 진동수가 높아집니다. 움직이는 관찰자는 파장을 바꾸지는 않지만 파면을 더 자주 만나 (c + v_o)/λ의 비율로 듣게 됩니다. 두 효과를 합치면 계산식이 됩니다. 1842년 도플러가 제안했고, 1845년 바위스 발롯이 달리는 기차에 연주자를 태운 실험으로 소리에서 확인했습니다. 공기라는 매질이 기준이므로 같은 속력이라도 음원이 움직일 때와 관찰자가 움직일 때의 변화량은 조금 다릅니다.

예제 풀이

1. 입력값: f = 500 Hz, v_s = 30 m/s(관찰자 쪽), v_o = 0, c = 343 m/s입니다.
2. 다가올 때: 500 × 343 ÷ (343 − 30) = 500 × 343 ÷ 313 = 547.92 Hz(화면 547.9233227)입니다.
3. 지나간 뒤: 500 × 343 ÷ (343 + 30) = 500 × 343 ÷ 373 = 459.79 Hz(화면 459.7855228)입니다.
4. 음원이 지나가는 순간 약 88 Hz가 떨어집니다.

결과 해석

547.92 ÷ 459.79 ≈ 1.19는 약 3반음에 해당하며, 시속 108 km(30 m/s)로 달리는 차에서 분명히 들리는 음높이 변화입니다. 음원은 멈춰 있고 관찰자가 30 m/s로 다가가면 500 × 373 ÷ 343 ≈ 543.7 Hz로 조금 덜 높아집니다. v_s가 c에 가까워지면 분모가 0에 가까워지며, 음속 이상에서는 이 식이 성립하지 않고 충격파(소닉 붐)가 생깁니다.

흔한 실수

• 부호를 잘못 넣는 경우입니다. 이 계산기는 상대방을 향하는 속력을 양수로 봅니다.
• 두 속력을 더해 하나의 상대 속력으로 계산하는 경우입니다. 소리는 매질을 기준으로 따집니다.
• 빛에 적용하는 경우입니다. 빛은 상대론적 도플러 식이 필요합니다.
• 바람을 무시하는 경우입니다. 바람은 경로상의 실제 음속을 바꿉니다.

자주 묻는 질문

차가 지나갈 때 음높이가 서서히 바뀌는 이유는 무엇인가요?

시선 방향의 속도 성분만 효과를 내기 때문입니다. 차가 바로 옆에 올 때 이 성분이 0이 되었다가 반대로 바뀝니다.

레이더는 도플러 효과로 속도를 어떻게 재나요?

파동이 움직이는 물체에 반사되므로 변화가 두 번 생기며, 속력이 파동 속력보다 훨씬 작을 때 변화량은 진동수의 약 2v/c배입니다.

두 음높이로 음원의 속력을 구할 수 있나요?

관찰자가 정지해 있다면 v_s = c · (f′ − f″) ÷ (f′ + f″)입니다. 예제에서는 343 × 88.14 ÷ 1007.71 ≈ 30 m/s입니다.

출처: C. Doppler, Über das farbige Licht der Doppelsterne (1842) · D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentals of Physics, Wiley