홍라이프 계산기충돌 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
두 물체가 한 직선 위에서 정면으로 부딪치면 충돌 후의 속도는 두 가지로 정해집니다. 전체 운동량이 보존된다는 사실과, 얼마나 잘 튀는지를 나타내는 반발 계수 e입니다. 이 계산기는 완전 탄성 충돌(e = 1)부터 두 물체가 붙어 버리는 완전 비탄성 충돌(e = 0)까지 충돌 후 두 속도와 줄어든 운동 에너지를 구합니다. 물리 문제, 당구공과 뉴턴의 요람, 간단한 충돌 분석에 씁니다.
계산 방법
질량 m₁, m₂는 kg, 처음 속도 u₁, u₂는 m/s이며 부호가 방향을 나타냅니다(−1은 반대 방향).
- v₁ = (m₁u₁ + m₂u₂ − m₂ e (u₁ − u₂)) ÷ (m₁ + m₂)
- v₂ = (m₁u₁ + m₂u₂ + m₁ e (u₁ − u₂)) ÷ (m₁ + m₂)
- 운동 에너지 손실 = ½ · m₁m₂ ÷ (m₁ + m₂) · (1 − e²) · (u₁ − u₂)²(J)입니다.
원리
충돌 방향으로 외력이 없으면 충돌 전후의 운동량이 같습니다. m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂입니다. 이 식 하나로는 미지수 두 개를 풀 수 없으므로, 뉴턴이 실험으로 얻은 반발 법칙을 함께 씁니다. 멀어지는 속도가 다가오는 속도의 e배, 즉 v₂ − v₁ = e (u₁ − u₂)입니다. 두 식을 연립하면 위 공식이 나옵니다. 에너지 손실은 환산 질량 m₁m₂ ÷ (m₁ + m₂)와 상대 속도에만 달려 있으며, e = 1이면 운동 에너지가 보존되고 e = 0이면 운동량 보존이 허용하는 최대만큼 줄어듭니다.
예제 풀이
- 입력값은 m₁ = 2 kg, u₁ = 3 m/s, m₂ = 1 kg, u₂ = −1 m/s, e = 1입니다.
- 전체 운동량은 2 × 3 + 1 × (−1) = 5 kg·m/s, 다가오는 속도는 u₁ − u₂ = 4 m/s입니다.
- v₁ = (5 − 1 × 1 × 4) ÷ 3 ≈ 0.3333 m/s입니다.
- v₂ = (5 + 2 × 1 × 4) ÷ 3 ≈ 4.3333 m/s입니다.
- 손실은 ½ × (2/3) × (1 − 1) × 16 = 0 J이며, 충돌 전후 운동 에너지가 모두 9.5 J입니다.
| m₁ (kg) | 충돌 후 v₁ (m/s) |
|---|---|
| 0.5 | -2.333333333 |
| 1 | -1 |
| 1.5 | -0.2 |
| 2 | 0.3333333333 |
| 2.5 | 0.7142857143 |
| 3 | 1 |
| 4 | 1.4 |
결과 해석
부호는 충돌 후의 방향을 나타냅니다. 이 예에서는 무거운 공이 앞으로 천천히 계속 가고, 가벼운 공은 4.33 m/s로 튕겨 나갑니다. 반발 계수는 단단한 강철구나 당구공이 1에 가깝고, 바람이 잘 든 공은 중간 정도이며, 찰흙이나 충돌한 자동차는 0에 가깝습니다. 같은 입력에서 e = 0이면 두 물체가 함께 5/3 ≈ 1.667 m/s로 움직이고 약 5.33 J이 열과 소리, 변형으로 바뀝니다.
흔한 실수
- 마주 보고 달려오는 물체의 속도에 음의 부호를 붙이지 않습니다.
- 모든 충돌에서 운동 에너지가 보존된다고 생각합니다. 항상 보존되는 것은 운동량입니다.
- e를 1보다 크게 넣습니다. 이는 폭발처럼 에너지가 더해지는 경우입니다.
자주 묻는 질문
같은 질량끼리 탄성 충돌하면 어떻게 되나요?
속도를 서로 맞바꿉니다. 정지한 같은 공을 맞힌 공은 멈추고, 맞은 공이 원래 속도로 나아갑니다.
반발 계수는 어떻게 재나요?
공을 단단한 바닥에 떨어뜨려 e = √(튀어 오른 높이 ÷ 떨어뜨린 높이)로 구합니다.
줄어든 운동 에너지는 어디로 가나요?
영구 변형, 열, 소리, 진동으로 바뀝니다.
출처: Isaac Newton, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, 1687 · Halliday, Resnick and Walker, Fundamentals of Physics, Wiley