홍라이프 계산기이동도 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 전하 운반자가 단위 전기장당 얻는 표류 속도인 전기 이동도를 표류 속도와 전기장, 전도도와 운반자 밀도, 또는 확산 계수로부터 구합니다. 반도체 물리, 전기화학, 이온·에어로졸 물리에서 쓰입니다.
계산 방법
μ = v_d ÷ E
σ = n z e μ이므로 μ = σ ÷ (n z e)
아인슈타인 관계식: D = μ k_B T ÷ (z e)
- E는 V/cm(1V/cm = 100V/m), n은 cm³당 개수(1cm⁻³ = 10⁶m⁻³), D는 cm²/s로 넣습니다.
- z는 전하수, T는 절대온도(K)이며, 300K에서 k_B T/e는 약 25.85mV입니다.
- 결과는 cm²/(V·s)와 m²/(V·s)로 보여 줍니다.
원리
고체나 기체 속 운반자는 끊임없이 충돌하며 무작위로 움직입니다. 전기장은 그 위에 작은 평균 이동, 즉 표류를 더해 주며, 많은 물질에서 표류 속도는 전기장에 비례합니다. 그 비례 상수가 이동도입니다. 전류 밀도는 운반자 수 × 전하 × 표류 속도이므로 σ = nzeμ가 됩니다. 확산과 표류는 같은 충돌에 의해 제한되기 때문에 아인슈타인은 열에너지 k_B T를 통해 D와 μ를 연결할 수 있었습니다.
예제 풀이
기본값인 표류 속도 14,000m/s, 전기장 1,000V/cm, T = 300K, z = 1로 계산합니다.
- E = 1,000V/cm = 100,000V/m입니다.
- μ = 14,000 ÷ 100,000 = 0.14m²/(V·s) = 1,400cm²/(V·s)입니다.
- 300K의 열전압 k_B T/e = 25.852mV이므로 D = 1,400 × 0.025852 = 36.19cm²/s입니다.
- 운반자 밀도 10¹⁶cm⁻³에서 σ = 10²² × 1.602 × 10⁻¹⁹ × 0.14 = 224.3S/m입니다.
| 전기장 (V/cm) | 이동도 (cm²/(V·s)) |
|---|---|
| 250 | 5,600 |
| 500 | 2,800 |
| 750 | 1,867 |
| 1,000 | 1,400 |
| 1,250 | 1,120 |
| 1,500 | 933.3 |
| 2,000 | 700 |
결과 해석
1,400cm²/(V·s) 안팎은 상온에서 도핑이 적은 실리콘의 전자 이동도로 흔히 인용되는 크기이며, 실리콘의 정공은 몇 배 느립니다. 이동도가 높을수록 소자가 빠르고 같은 도핑에서 저항이 낮습니다. 온도와 도핑 농도가 높아지면 충돌이 잦아져 이동도가 떨어집니다.
흔한 실수
- V/cm와 V/m를 섞어 μ가 100배 틀어지는 경우
- 표류 속도가 포화되는 매우 강한 전기장에서 μ = v_d/E를 쓰는 경우
- 전자와 정공이 함께 전도할 때 단일 운반자 식을 쓰는 경우(σ = e(nμₙ + pμₚ))
- 축퇴된 고농도 운반자에 아인슈타인 관계식을 쓰는 경우
자주 묻는 질문
이동도는 어떤 단위로 씁니까?
반도체 분야에서는 보통 cm²/(V·s)를 쓰며, 1cm²/(V·s) = 10⁻⁴m²/(V·s)입니다.
실리콘에서 전자 이동도가 정공보다 큰 이유는 무엇입니까?
전도에 중요한 방향에서 전자의 유효 질량이 더 작기 때문입니다.
열전압은 무엇입니까?
k_B T/e로 300K에서 약 25.85mV이며, 아인슈타인 관계식과 다이오드 식의 기준 크기가 됩니다.
출처: H. Föll, Semiconductors (lecture script, University of Kiel), section 2.3.4 · OpenStax, University Physics Volume 2 (2016), section 9.2 "Model of Conduction in Metals"