홍라이프 계산기전자 속도 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 정지한 전자가 어떤 전압으로 가속된 뒤의 속도를 상대성이론으로 구하고 고전 역학의 추정값과 비교합니다. 로런츠 인자와 드브로이 파장도 함께 보여 주어 브라운관, X선관, 전자 현미경을 이해하는 데 쓰입니다.
계산 방법
운동 에너지 K = eV이므로 eV 단위의 K는 전압 V와 같습니다.
γ = 1 + K ÷ (mₑc²), mₑc² = 0.51099895069MeV
v = c √(1 − 1/γ²)
고전 추정: v = √(2eV ÷ mₑ)
운동량: pc = √(K² + 2K mₑc²), 파장 λ = h ÷ p
원리
전기장은 전자에 eV만큼 일을 하고, 그 일이 운동 에너지가 됩니다. 고전 역학에서는 K = ½mv²이지만, 특수상대성이론에서는 K = (γ − 1)mc²이며 v가 c에 가까워지면 γ가 한없이 커집니다. 그래서 에너지를 더할수록 γ는 계속 커지지만 속도는 빛의 속도에 점점 가까워질 뿐 도달하지 못합니다. 고전 식은 낮은 전압에서는 잘 맞지만 높은 전압에서는 틀리며, 약 256kV를 넘으면 빛보다 빠른 속도를 내놓습니다. 양자역학에서는 모든 입자가 파장 h/p를 가지며, 빠른 전자의 파장은 가시광선보다 훨씬 짧아 전자 현미경이 원자를 볼 수 있습니다.
예제 풀이
기본값 10,000V로 계산합니다.
- K = 10keV입니다.
- γ = 1 + 10,000 ÷ 510,999 = 1.01957입니다.
- v ÷ c = √(1 − 1/γ²) = 0.19499이므로 v = 빛의 속도의 19.499% = 58,455km/s입니다.
- 고전 추정값은 19.784%로 약 1.5% 큽니다.
- pc = √(10,000² + 2 × 10,000 × 510,999) ≈ 101,587eV이므로 λ = hc ÷ pc ≈ 12.2pm입니다.
| 가속 전압 (V) | 전자 속도 (광속의 %) |
|---|---|
| 2,500 | 9.856 |
| 5,000 | 13.887 |
| 7,500 | 16.947 |
| 10,000 | 19.499 |
| 12,500 | 21.722 |
| 15,000 | 23.711 |
| 20,000 | 27.187 |
결과 해석
상대론 값과 고전 값을 비교해 보십시오. 수 kV까지는 거의 같고, 수십 kV에서는 차이가 눈에 띄며, 수백 kV에서는 상대론 값만 의미가 있습니다. 투과 전자 현미경은 100~300kV에서 작동하며, 이때 전자는 빛의 속도의 절반보다 빠릅니다.
흔한 실수
- 높은 전압에서 ½mv²를 써서 빛에 가깝거나 빛보다 빠른 속도를 얻는 경우
- 정지 출발을 가정한다는 점을 잊는 경우
- 운동 에너지(keV)를 정지 에너지 511keV가 포함된 전체 에너지와 혼동하는 경우
자주 묻는 질문
1kV에서 전자는 얼마나 빠릅니까?
빛의 속도의 약 6.2%, 대략 18,700km/s입니다.
전자가 빛의 속도에 도달할 수 있습니까?
없습니다. v가 c에 가까워지면 γ가 무한대로 커져 무한한 에너지가 필요합니다.
드브로이 파장은 어디에 쓰입니까?
전자 현미경의 분해능 한계와 전자 회절 각도를 정합니다.
출처: OpenStax, University Physics Volume 3 (2016), section 5.9 "Relativistic Energy" · Particle Data Group, pdgLive (electron mass, CODATA 2022)