홍라이프 계산기오차 전파 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 각각 표준 불확도를 가진 두 측정값으로 계산한 결과의 불확도를 구합니다. 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 상수배를 지원하며, 실험 보고서를 쓰는 학생이나 측정값으로 얻은 양의 신뢰도를 밝혀야 하는 기술자가 씁니다.
계산 방법
일반식(독립인 입력): u_f² = (∂f/∂A)² u_A² + (∂f/∂B)² u_B²
- A ± B: u = √(u_A² + u_B²)
- A × B 또는 A ÷ B: (u/f)² = (u_A/A)² + (u_B/B)²
- Aⁿ: u/f = |n| u_A/A, c × A: u = |c| u_A
- 최악의 경우: 각 기여분을 제곱합 대신 그대로 더합니다.
- 확장 불확도 U = 2u이며 약 95% 신뢰 구간에 해당합니다.
원리
입력의 오차는 그 입력에 대한 f의 민감도(편미분)를 곱한 만큼 결과를 움직입니다. 두 오차가 서로 독립이면 일부 상쇄될 가능성과 더해질 가능성이 같으므로, 직각삼각형의 빗변처럼 제곱을 더한 뒤 제곱근을 취해 합칩니다. 그대로 더하는 것은 두 오차가 같은 방향으로 밀 때만 생기는 최악의 경우입니다. 이 규칙들은 1차 근사이며, 불확도가 값에 비해 작을 때 잘 맞습니다.
예제 풀이
기본값인 A = 12.4 ± 0.2, B = 3.1 ± 0.1, 연산 A × B로 계산합니다.
- f = 12.4 × 3.1 = 38.44입니다.
- 기여분은 B × u_A = 3.1 × 0.2 = 0.62와 A × u_B = 12.4 × 0.1 = 1.24입니다.
- u_f = √(0.62² + 1.24²) = 1.386이며, 상대 불확도는 3.607%입니다.
- 최악의 경우는 0.62 + 1.24 = 1.86, 확장 불확도(k = 2)는 2.773입니다.
- ±1u 범위는 37.0536 … 39.8264이며, 보통 38.4 ± 1.4로 보고합니다.
| A의 값 | 결과 f |
|---|---|
| 3.1 | 9.61 |
| 6.2 | 19.22 |
| 9.3 | 28.83 |
| 12.4 | 38.44 |
| 15.5 | 48.05 |
| 18.6 | 57.66 |
| 24.8 | 76.88 |
결과 해석
상대 불확도를 보면 어느 입력이 결과를 좌우하는지 알 수 있습니다. 여기서는 상대 오차 3.2%인 B가 1.6%인 A보다 크게 기여합니다. 더 나쁜 측정을 개선해야 효과가 가장 큽니다. 불확도는 유효숫자 1~2자리로 반올림하고, 결과도 같은 자리까지 맞춥니다.
흔한 실수
- 곱셈에서 상대 불확도 대신 절대 불확도를 더하는 경우
- 같은 기기로 잰 두 값처럼 상관된 오차에 제곱합 규칙을 쓰는 경우
- 자릿수를 지나치게 많이 보고하는 경우
- 표준 불확도와 95% 구간을 한 계산에 섞는 경우
자주 묻는 질문
왜 제곱합으로 더합니까?
독립인 오차는 분산이 더해지고, 표준 불확도는 분산의 제곱근이기 때문입니다.
최악의 경우 값은 언제 씁니까?
오차가 상관되어 있을 수 있거나 확실한 상한이 필요할 때 씁니다.
k = 2는 무슨 뜻입니까?
오차가 정규 분포를 따를 때 참값이 약 95% 확률로 들어가는 구간을 만드는 포함 계수입니다.
출처: B. N. Taylor and C. E. Kuyatt, NIST Technical Note 1297 (1994), Appendix A and section 6