홍라이프 계산기탈출 속도·궤도 속도 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
탈출 속도는 추진력 없이 던져진 물체가 행성의 중력을 영원히 벗어나는 데 필요한 최소 속력이고, 궤도 속도는 특정 고도에서 원 궤도를 유지하는 데 필요한 속력입니다. 이 계산기는 행성의 질량과 반지름으로 두 속도와 공전 주기, 표면 중력을 구합니다. 기본값은 지구와 국제우주정거장 고도에 가까운 400 km 궤도입니다.
계산 방법
GM = G × M(G = 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²), 반지름 R, 궤도 반지름 r = R + h(m로 환산)일 때 다음과 같습니다.
- 표면 탈출 속도: v_esc = √(2GM ÷ R)
- 원 궤도 속도: v = √(GM ÷ r)
- 공전 주기: T = 2π√(r³ ÷ GM), 분 단위로 표시
- 표면 중력: g = GM ÷ R²
속도는 km/s로 나타냅니다.
원리
탈출 속도는 에너지로 구합니다. 운동 에너지 ½mv²가 중력 우물을 빠져나오는 데 필요한 일 GMm ÷ R과 같아야 하므로 v = √(2GM/R)이고, 물체의 질량은 약분됩니다.
궤도 속도는 힘으로 구합니다. 원 궤도에서는 중력이 구심력 역할을 하므로 GMm ÷ r² = mv² ÷ r에서 v = √(GM/r)입니다. 주기는 둘레 2πr을 이 속도로 나눈 값입니다. 같은 반지름에서 탈출 속도는 언제나 원 궤도 속도의 √2 ≈ 1.414배입니다.
예제 풀이
- 입력값: M = 5.972 × 10²⁴ kg, R = 6,371 km, h = 400 km입니다.
- GM = 6.6743 × 10⁻¹¹ × 5.972 × 10²⁴ = 3.98589 × 10¹⁴ m³/s²입니다.
- v_esc = √(2 × 3.98589 × 10¹⁴ ÷ 6,371,000) ≈ 11,186 m/s = 11.18597789 km/s입니다.
- r = 6,771,000 m이므로 v = √(3.98589 × 10¹⁴ ÷ 6,771,000) ≈ 7.672490413 km/s입니다.
- T = 2π√(6,771,000³ ÷ 3.98589 × 10¹⁴) ≈ 5,545초 ≈ 92.41555528분입니다.
- g = 3.98589 × 10¹⁴ ÷ 6,371,000² ≈ 9.819973426 m/s²입니다.
| 반지름 (km) | 지표면 탈출 속도 (km/s) |
|---|---|
| 1,593 | 22.37195578 |
| 3,186 | 15.81936164 |
| 4,778 | 12.91645469 |
| 6,371 | 11.18597789 |
| 7,964 | 10.00504278 |
| 9,556 | 9.133312703 |
| 12,742 | 7.909680822 |
결과 해석
궤도가 높을수록 속도는 느려지고 주기는 길어집니다. 지표면 반지름에서의 원 궤도 속도는 약 7.91 km/s, 400 km에서는 7.67 km/s, 정지 궤도에서는 약 3.07 km/s입니다. 표면 중력 9.82 m/s²가 표준 중력 9.80665 m/s²보다 조금 큰 것은 지구의 자전과 편평한 모양을 무시했기 때문입니다. 탈출 속도는 추진 없이 날아가는 물체에 대한 값이므로, 계속 추력을 내는 로켓은 더 느리게도 벗어날 수 있습니다.
흔한 실수
- 궤도 공식에 중심 거리 대신 고도를 넣는 경우
- km와 m를 섞어 쓰는 경우
- 탈출 속도는 꼭 수직 방향이어야 한다고 생각하는 경우
자주 묻는 질문
로켓은 왜 동쪽으로 발사하나요?
지구 자전이 적도에서 최대 약 0.46 km/s를 보태 주어 로켓이 내야 할 속도가 줄기 때문입니다.
달의 탈출 속도는 얼마인가요?
약 2.38 km/s로, 질량이 작아 지구보다 훨씬 낮습니다.
우주정거장 고도에서도 탈출 속도가 같나요?
아닙니다. r = 6,771 km에서는 √2 × 7.67 ≈ 10.85 km/s로 표면보다 낮습니다.
출처: Halliday, Resnick, Walker, Fundamentals of Physics, 중력 단원 · H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, Elsevier