홍라이프 계산기기둥 좌굴(오일러) 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
가늘고 긴 기둥은 재료가 압축 파괴되기 훨씬 전에 어느 하중에서 갑자기 옆으로 휘어 버립니다. 이 계산기는 오일러 공식으로 그 임계하중을 구하고, 오일러 공식을 적용할 수 있는지 판단하는 세장비 KL/r도 함께 보여 줍니다. 강재 압축재, 기둥, 가새, 피스톤 로드 검토와 실습에 씁니다.
계산 방법
- 임계하중: P_cr = π²EI ÷ (KL)²입니다. E(GPa)와 I(cm⁴)는 E × 10⁹ × I × 10⁻⁸로 N·m²가 되고, L은 m이며 결과는 kN으로 표시합니다.
- 유효좌굴길이계수 K: 양단 핀 1.0, 양단 고정 0.5, 고정-핀 0.7, 고정-자유(깃대) 2.0입니다.
- 세장비: KL ÷ r이며 r = √(I/A)(cm)이고 KL은 100을 곱해 cm로 바꿉니다.
기둥은 강성이 가장 작은 축으로 좌굴하므로 약축 I를 넣어야 합니다.
원리
완전히 곧은 탄성 기둥은 임계하중 부근에서 곧은 상태와 살짝 휜 상태 두 가지 평형을 가질 수 있습니다. 휘면 P × 처짐만큼 모멘트가 생기고, 휨강성 EI가 이에 저항합니다. 미분방정식 EI·y″ + P·y = 0을 양단 핀 조건으로 풀면 P = π²EI/L²일 때만 0이 아닌 휜 모양이 가능합니다. 단부 조건이 달라지면 좌굴 형상이 바뀌는데, K는 이를 같은 거동을 하는 양단 핀 기둥의 길이로 바꾸어 표현한 것입니다.
예제 풀이
- 입력값: E = 200 GPa, I = 142 cm⁴(약축), L = 3 m, 양단 핀(K = 1), A = 28.5 cm²입니다.
- EI = 200 × 10⁹ × 142 × 10⁻⁸ = 284,000 N·m²입니다.
- P_cr = π² × 284,000 ÷ 3² ≈ 311,441 N = 311.4409 kN입니다.
- r = √(142 ÷ 28.5) ≈ 2.2321 cm이고, KL/r = 300 ÷ 2.2321 ≈ 134.4001입니다.
| 길이 (m) | 좌굴하중 (kN) |
|---|---|
| 0.75 | 4,983.0536 |
| 1.5 | 1,245.7634 |
| 2.25 | 553.6726222 |
| 3 | 311.44085 |
| 3.75 | 199.322144 |
| 4.5 | 138.4181556 |
| 6 | 77.8602125 |
결과 해석
오일러 공식은 좌굴응력 P_cr/A가 비례한도보다 낮을 때만 유효합니다. 예제에서는 311,441 N ÷ 2,850 mm² ≈ 109 MPa로 S235 강재의 235 MPa보다 낮아 탄성 좌굴이 지배합니다. E = 200 GPa, 항복강도 235 MPa인 강재의 경계 세장비는 π√(E/f_y) ≈ 92 정도이며, 이보다 짧고 굵은 기둥은 항복이나 비탄성 좌굴로 파괴되어 오일러 공식이 강도를 과대평가합니다.
흔한 실수
- I형 단면의 강축 I를 씁니다. 횡지지가 없으면 약축으로 좌굴합니다.
- P_cr을 그대로 사용하중으로 봅니다. 실제 기둥은 초기 휨과 잔류응력이 있어 설계기준의 좌굴 곡선은 오일러 값보다 훨씬 낮습니다.
- 실제 접합부에 이론 K값을 씁니다. 완전 고정이 어렵기 때문에 설계기준은 0.5, 0.7, 2.0 대신 0.65, 0.8, 2.1을 권장하기도 합니다.
자주 묻는 질문
세장비가 얼마면 '가는 기둥'인가요?
일반 강재는 KL/r이 대략 90~100을 넘으면 탄성(오일러) 좌굴 범위이고, 그보다 작으면 비탄성 좌굴이나 항복이 지배합니다.
고정-자유 기둥은 왜 K = 2인가요?
좌굴 형상이 두 배 길이 양단 핀 기둥의 절반과 같기 때문입니다.
고강도 강재를 쓰면 가는 기둥이 강해지나요?
거의 그렇지 않습니다. 오일러 하중은 항복강도가 아니라 E에 비례하는데, E는 강종과 관계없이 거의 같습니다.
출처: S. P. Timoshenko and J. M. Gere, Theory of Elastic Stability, McGraw-Hill · AISC 360, Specification for Structural Steel Buildings, and Commentary