증류 최소 단수(펜스케)·길리랜드 계산기

증류탑 최소 단수(Fenske)·Gilliland 계산 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

증류탑을 정밀하게 모사하기 전에 공정 엔지니어는 Fenske–Underwood–Gilliland 약산법으로 탑의 크기를 먼저 어림합니다. 이성분계(또는 경핵심·중핵심 성분 기준) 분리에서 전환류 조건의 최소 이론단수, 최소 환류비, 실제 운전할 환류비에서 필요한 이론단수를 구해 줍니다.

계산 방법

• Fenske 식: N_min = ln[(x_D/(1 − x_D)) × ((1 − x_B)/x_B)] ÷ ln α
• Underwood 식(이성분, 포화액체 원료): R_min = [x_D/x_F − α(1 − x_D)/(1 − x_F)] ÷ (α − 1)
• Gilliland 상관식(Eduljee 식): X = (R − R_min)/(R + 1), Y = 0.75[1 − X^0.5668], Y = (N − N_min)/(N + 1)이므로 N = (Y + N_min)/(1 − Y)

x는 경핵심 성분의 몰분율, α는 경핵심 대 중핵심 성분의 상대휘발도이며, 실제 환류비는 R = (R/R_min) × R_min입니다.

원리

전환류에서는 이상단 하나를 지날 때마다 경성분/중성분 비가 α배가 되므로, N단을 지나면 α^N배가 됩니다. 여기에 로그를 취한 것이 Fenske 식입니다. 반대쪽 극한인 최소 환류비에서는 조작선이 원료 위치에서 평형곡선과 맞닿아 단수가 무한히 필요한 '핀치'가 생기며, Underwood 식이 이 값을 구합니다. Gilliland는 두 극한 사이의 실제 설계 자료를 하나의 상관 곡선으로 정리했고, Eduljee가 이를 간단한 식으로 맞추었습니다.

예제 풀이

1. 입력값: x_D = 0.95, x_B = 0.05, α = 2.5, x_F = 0.5, R/R_min = 1.3
2. 분리 계수 = (0.95/0.05) × (0.95/0.05) = 361, N_min = ln 361 ÷ ln 2.5 = 5.889 ÷ 0.9163 = 6.427
3. R_min = (0.95/0.5 − 2.5 × 0.05/0.5) ÷ 1.5 = (1.9 − 0.25) ÷ 1.5 = 1.1
4. R = 1.3 × 1.1 = 1.43, X = 0.33 ÷ 2.43 = 0.1358, Y = 0.75 × (1 − 0.1358^0.5668) = 0.5081
5. N = (0.5081 + 6.4269) ÷ (1 − 0.5081) = 14.10 이론단

결과 해석

이론단수에는 보통 재비기가 한 단으로 포함됩니다. 실제 트레이 수는 이론단수를 총괄 단효율로 나누어 구합니다. 환류비는 R_min의 약 1.2~1.5배가 경제적인 범위로 흔히 쓰이며, 환류비를 낮추면 에너지는 줄지만 단수가 늘고, 높이면 그 반대가 됩니다. α가 1.2 정도보다 작아지면 필요한 단수가 급격히 늘어납니다.

흔한 실수

• x_D나 x_B에 중성분 몰분율을 넣는 경우
• 포화액체가 아닌 원료에 이성분 Underwood 식을 그대로 쓰는 경우
• 탑 위아래에서 α가 크게 달라지는데 한 값으로 고정하는 경우 (상부·하부 값의 기하평균을 쓰는 것이 일반적입니다)

자주 묻는 질문

N_min에 재비기가 포함되나요?

일반적인 관례로는 재비기를 평형단 하나로 포함하므로, 탑 내부 단수는 하나를 빼서 봅니다.

원료 공급단 위치도 알 수 있나요?

이 계산기는 제공하지 않습니다. Kirkbride 식이나 정밀 모사로 추정합니다.

출처: M. R. Fenske, Industrial and Engineering Chemistry 24 (1932) 482 · E. R. Gilliland, Industrial and Engineering Chemistry 32 (1940) 1220 · J. D. Seader, E. J. Henley and D. K. Roper, Separation Process Principles, Wiley