홍라이프 계산기가우스 법칙 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 가우스 법칙으로 대칭인 전하 분포의 전기장을 구합니다. 점전하, 균일하게 대전된 속이 찬 구, 얇은 구껍질이나 도체, 무한 직선, 무한 평면을 지원하며, 둘러싸인 전하, 전기 선속, 사용한 가우스 면도 알려 줍니다. 전자기학 과제에서 자주 쓰입니다.
계산 방법
가우스 법칙: Φ = Q_enc ÷ ε₀
- 점전하 또는 구형 분포의 바깥: E = Q ÷ (4π ε₀ r²)
- 균일하게 대전된 속이 찬 구의 안쪽: E = Q r ÷ (4π ε₀ R³)
- 얇은 구껍질이나 도체의 안쪽: E = 0
- 무한 직선: E = λ ÷ (2π ε₀ r), 무한 평면: E = σ ÷ (2ε₀)
- Q는 nC, λ는 nC/m, σ는 nC/m²이며 ε₀ = 8.8541878188 × 10⁻¹²F/m입니다. r = R에서는 바깥 공식을 씁니다.
원리
가우스 법칙은 닫힌 면을 빠져나가는 전체 전기 선속이 그 안의 전하에만 달려 있다고 말합니다. 전하가 대칭이라면 전기장의 크기가 어디서나 같고 면에 수직인 면을 고를 수 있습니다. 그러면 선속은 E × 넓이가 되어 E를 쉽게 구할 수 있습니다. 공 모양 전하를 둘러싼 구면의 넓이는 4πr²이라 역제곱 법칙이 나오고, 직선을 둘러싼 원통은 1/r을, 평면을 관통하는 상자는 거리와 무관한 전기장을 줍니다.
예제 풀이
기본값인 속이 찬 구, Q = 10nC, R = 0.1m, r = 0.2m로 계산합니다.
- r > R이므로 바깥 지점이며 전하 전체가 둘러싸입니다(10nC).
- E = 10 × 10⁻⁹ ÷ (4π × 8.854 × 10⁻¹² × 0.2²) = 2,247N/C입니다.
- 전하가 양수이므로 전기장은 전하에서 멀어지는 바깥쪽을 향합니다.
- 선속 = 10⁻⁸ ÷ 8.854 × 10⁻¹² = 1,129N·m²/C이며, 반지름 r인 구면을 썼습니다.
| 중심·축·평면으로부터의 거리 r (m) | 전기장 크기 E (N/C) |
|---|---|
| 0.05 | 4,494 |
| 0.1 | 8,988 |
| 0.15 | 3,994 |
| 0.2 | 2,247 |
| 0.25 | 1,438 |
| 0.3 | 998.6 |
| 0.4 | 561.7 |
결과 해석
구의 바깥에서는 모든 전하가 중심에 모인 것과 같은 전기장이 됩니다. 속이 찬 구 안에서는 중심의 0에서 바깥으로 갈수록 직선적으로 커지고, 구껍질 안에서는 0입니다. N/C는 V/m와 같은 단위입니다. 선속은 r과 관계없으므로, 둘러싸인 전하를 제대로 셌는지 빠르게 확인하는 데 쓸 수 있습니다.
흔한 실수
- 속이 찬 구 내부 지점에 바깥 공식을 쓰는 경우
- 대칭이 부족한 모양에 가우스 법칙으로 E를 구하려는 경우(법칙은 성립하지만 면 위에서 E가 일정하지 않습니다)
- 나노 접두어를 잊는 경우
- 멀리서 본 유한한 판이나 막대를 무한하다고 보는 경우
자주 묻는 질문
도체 구껍질 안의 전기장은 왜 0입니까?
그 안의 가우스 면에는 둘러싸인 전하가 없고, 대칭 때문에 전기장이 0이 되어야 합니다.
평면의 전기장은 왜 거리와 무관합니까?
무한 평면에서 나온 전기력선은 평행하게 유지되어 퍼지지 않기 때문입니다.
N/C와 V/m는 같습니까?
네, 두 단위는 같습니다.
출처: G. Rybka, Physics 122 lecture notes, University of Washington (Gauss's law) · CODATA 2022 recommended values (ε₀), NIST