정지궤도·동기궤도 계산기

정지 궤도 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

동기 궤도는 공전 주기가 행성의 자전 주기와 같은 궤도입니다. 이 궤도가 적도 위의 원 궤도이고 자전 방향으로 돈다면 위성은 하늘의 한 점에 멈춘 것처럼 보이는데, 이것이 정지 궤도입니다. 지상 안테나를 한 방향으로 고정할 수 있어 통신·기상 위성이 많이 씁니다. 이 계산기는 행성의 질량과 자전 주기로 궤도 반지름, 고도, 궤도 속도를 구합니다.

계산 방법

• 궤도 반지름: r = (GMT² ÷ 4π²)^(1/3)입니다. G = 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², M은 행성 질량(kg), T는 자전 주기를 초로 바꾼 값입니다.
• 고도: h = r − R이며, R은 행성 반지름입니다(정지 궤도에는 적도 반지름을 씁니다).
• 궤도 속도: v = 2πr ÷ T입니다.

원리

원 궤도에서는 중력이 구심력 역할을 하므로 GMm ÷ r² = m(2π ÷ T)²r입니다. 위성의 질량 m은 약분되므로 같은 반지름의 물체는 질량과 상관없이 같은 주기로 돕니다. r에 대해 풀면 r³ = GMT² ÷ 4π²로, 케플러 제3법칙과 같습니다. 따라서 주기를 자전 주기로 정하면 반지름은 하나로 정해집니다.

이때 자전 주기는 별을 기준으로 한 바퀴 도는 항성일로, 지구는 약 23.9345시간(23시간 56분 4초)이며 태양일 24시간이 아닙니다.

예제 풀이

1. 입력값: M = 5.972 × 10²⁴ kg, T = 23.9345시간, R = 6,378 km입니다.
2. T = 23.9345 × 3,600 = 86,164.2초입니다.
3. GMT² ÷ 4π² = 3.98589 × 10¹⁴ × 86,164.2² ÷ 39.4784 ≈ 7.49583 × 10²² m³입니다.
4. r = (7.49583 × 10²²)^(1/3) ≈ 42,163,809 m = 42,163.80881 km입니다.
5. h = 42,163.80881 − 6,378 = 35,785.80881 km입니다.
6. v = 2π × 42,163,809 ÷ 86,164.2 ≈ 3.074629881 km/s입니다.

결과 해석

흔히 알려진 정지 궤도 고도 약 35,786 km와 일치합니다. 이 거리에서는 전파가 한 방향으로 약 0.12초 걸리므로, 지상에서 위성을 거쳐 다시 지상으로 오가면 약 0.25초의 지연이 생깁니다. 궤도 속도 약 3.07 km/s는 저궤도의 7.7 km/s보다 훨씬 느린데, 행성에서 멀리 떨어져 있기 때문입니다.

흔한 실수

• 항성일 대신 24시간을 넣어 반지름이 약 0.2% 커지는 경우
• 적도 반지름 대신 평균 반지름 6,371 km를 빼는 경우
• 기울어진 동기 궤도도 정지 궤도라고 부르는 경우(하늘에서 8자 모양을 그립니다)

자주 묻는 질문

지구 동기 궤도와 정지 궤도는 어떻게 다른가요?

동기 궤도는 주기가 항성일과 같은 궤도이고, 정지 궤도는 그중 적도 위 원 궤도이면서 자전 방향으로 도는 특별한 경우입니다.

한국 바로 위에 정지 위성을 둘 수 있나요?

없습니다. 정지 위성은 적도 위에만 있을 수 있어 한국에서는 남쪽 하늘에 보입니다.

모든 행성에 동기 궤도가 있나요?

계산상으로는 있지만, 반지름이 행성 내부이거나 행성 중력이 지배하는 영역 밖이면 안정한 궤도가 될 수 없습니다.

출처: Halliday, Resnick, Walker, Fundamentals of Physics, 중력 단원 · H. D. Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, Elsevier