홍라이프 계산기중력 시간 지연 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 일반상대성이론에 따라 무거운 천체 가까이 있는 시계가 멀리 있는 시계보다 얼마나 느리게 가는지 구합니다. 시계의 진행 비율, 하루와 1년 동안 늦어지는 시간, 슈바르츠실트 반지름, 그리고 더 높은 두 번째 거리의 시계가 얼마나 빨리 가는지 보여 주어, 물리 수업이나 GPS 위성에 상대론 보정이 필요한 이유를 이해하는 데 쓰입니다.
계산 방법
dτ ÷ dt = √(1 − 2GM ÷ (r c²)) = √(1 − r_s ÷ r)
슈바르츠실트 반지름 r_s = 2GM ÷ c²
- r은 중심에서의 거리(km)이며, 질량은 지구 질량, 태양 질량, kg 중 하나로 넣습니다.
- GM_지구 = 3.986004418 × 10¹⁴m³/s², GM_태양 = 1.32712440018 × 10²⁰m³/s², c = 299,792,458m/s입니다.
- 하루 지연 = (1 − dτ/dt) × 86,400초이며, 두 번째 거리의 이득은 두 지연의 차이입니다.
원리
일반상대성이론에서 중력은 시공간의 휘어짐이며, 멀리서 보면 중력 우물 깊은 곳의 시계일수록 느리게 갑니다. 회전하지 않는 구형 질량에 대해 슈바르츠실트 해는 √(1 − r_s/r)이라는 인자를 줍니다. 지구 근처에서는 약 10¹⁰분의 7로 아주 작지만 원자시계로는 쉽게 측정됩니다. 슈바르츠실트 반지름에서 이 인자는 0이 되며, 이것이 블랙홀의 사건 지평선입니다.
예제 풀이
기본값인 지구 질량 1, 시계 거리 6,371km, 두 번째 시계 26,560km(GPS 궤도 반지름)로 계산합니다.
- r_s = 2 × 3.986 × 10¹⁴ ÷ c² = 0.00887m입니다.
- 지표의 지연 비율 ≈ GM ÷ (r c²) = 10억분의 0.6961, 진행 비율 = 0.9999999993입니다.
- 하루 지연 = 6.961 × 10⁻¹⁰ × 86,400초 = 60.15µs, 1년에 21.97ms입니다.
- 26,560km에서의 지연은 1.670 × 10⁻¹⁰이므로, 그 시계는 지표보다 하루 45.72µs 빨리 갑니다.
결과 해석
두 번째 거리의 이득이 양수이면 높은 곳의 시계가 더 빨리 간다는 뜻입니다. 중력만으로 생기는 GPS의 하루 약 45.7µs는 위성의 속도 때문에 하루 약 7µs 느려지는 효과와 일부 상쇄되며, 그 순수 보정값이 시스템에 반영되어 있습니다. 보정하지 않으면 위치 오차가 하루에 수 km씩 쌓입니다.
흔한 실수
- 중심으로부터의 거리 대신 지표 위 고도를 넣는 경우
- 특수상대론의 속도 효과가 빠져 있다는 점을 잊는 경우
- 지구 위 일상에서 눈에 띄는 효과를 기대하는 경우
자주 묻는 질문
지하실의 시계는 더 느리게 갑니까?
아주 조금 그렇습니다. 원자시계로 1m도 안 되는 높이 차이에서의 차이를 측정한 실험이 있습니다.
GPS 시계는 왜 전체적으로 빨리 갑니까?
중력에 의한 하루 약 45.7µs의 빨라짐이 궤도 속도에 의한 약 7µs의 느려짐보다 크기 때문입니다.
슈바르츠실트 반지름에서는 어떻게 됩니까?
인자가 0이 되며, 블랙홀에서는 그곳이 사건 지평선입니다.
출처: K. Griest, Physics 161: Black Holes, Lecture 5 (UC San Diego, 2011)