홍라이프 계산기하겐-푸아죄유 층류 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
하겐-푸아죄유 법칙은 점성 유체가 길고 곧은 원형 관을 층류로 흐를 때의 체적 유량을 알려 줍니다. 양 끝의 압력 차, 관의 반지름과 길이, 유체의 점성계수를 넣으면 유량을 mL/s로 구해 줍니다. 모세관과 미세 유로, 주사기와 주삿바늘, 점적 관수, 점도계에 쓰이며, 가는 혈관의 혈류를 처음 어림할 때도 활용합니다.
계산 방법
Q = πr⁴Δp ÷ (8μL)
- Δp: 입구와 출구의 압력 차(Pa)입니다.
- r: 안쪽 반지름으로, mm로 입력하면 m로 바꿉니다.
- L: 관 길이(m), μ: 점성계수로 mPa·s를 Pa·s로 바꿉니다.
- Q는 m³/s로 계산한 뒤 10⁶을 곱해 mL/s로 표시합니다.
원리
정상 층류에서는 유체가 동심원통 모양의 층을 이루어 서로 미끄러지듯 흐릅니다. 가운데 원기둥을 앞으로 미는 압력의 힘과 그 표면에 걸리는 점성 전단력이 균형을 이룹니다. 벽면 속도가 0이라는 조건으로 이 균형을 풀면 포물선 모양의 속도 분포가 나옵니다. 중심이 가장 빠르고 벽에서는 0이며, 평균 속도는 최대 속도의 정확히 절반입니다. 이 분포를 단면 전체에 대해 적분하면 r⁴ 법칙이 됩니다. 하겐(1839)과 푸아죄유(1840년대)가 각자 실험으로 찾아냈고, 배관 설계에 쓰는 층류 마찰계수 f = 64/Re도 같은 해에서 나옵니다.
예제 풀이
- 입력값: Δp = 1000 Pa, r = 1 mm = 0.001 m, L = 1 m, μ = 1 mPa·s = 0.001 Pa·s입니다.
- r⁴ = (0.001)⁴ = 1 × 10⁻¹² m⁴입니다.
- 분자: π × 10⁻¹² × 1000 = 3.1416 × 10⁻⁹입니다.
- 분모: 8 × 0.001 × 1 = 0.008입니다.
- Q = 3.1416 × 10⁻⁹ ÷ 0.008 = 3.927 × 10⁻⁷ m³/s = 0.3927 mL/s(화면 0.3926990817)입니다.
| 관 반지름 (mm) | 유량 (mL/s) |
|---|---|
| 0.25 | 0.0015339808 |
| 0.5 | 0.0245436926 |
| 0.75 | 0.1242524438 |
| 1 | 0.3926990817 |
| 1.25 | 0.9587379924 |
| 1.5 | 1.988039101 |
| 2 | 6.283185307 |
결과 해석
가장 눈에 띄는 점은 반지름의 네제곱입니다. 같은 압력에서 반지름이 2배면 유량은 16배가 되고, 반지름이 10% 줄면 유량은 약 34% 줄어듭니다. 혈관 지름의 작은 변화가 생리학적으로 큰 의미를 갖는 이유입니다. 결과를 쓰기 전에는 층류인지 꼭 확인해야 합니다. 예제의 평균 유속은 0.125 m/s이고 물 기준 Re ≈ 250으로 2300보다 훨씬 작으므로 법칙이 성립합니다. 관이 짧으면 포물선 분포가 자리 잡는 입구 길이(층류에서 약 0.05·Re·D)도 고려해야 합니다.
흔한 실수
- 반지름 칸에 지름을 넣어 유량이 16배로 과대 계산되는 경우입니다.
- 난류에 적용하는 경우입니다. 난류에서는 압력 차를 키워도 유량이 훨씬 덜 늘어납니다.
- 짧은 관이나 바늘에서 입구·출구 손실을 무시하는 경우입니다.
- 압력 강하가 큰 기체나 비뉴턴 유체에 그대로 쓰는 경우입니다.
자주 묻는 질문
원하는 유량에 필요한 압력은 어떻게 구하나요?
Δp = 8μLQ ÷ (πr⁴)로 바꾸어 계산합니다. 유압 저항 R = 8μL ÷ (πr⁴)을 써서 Δp = Q·R로 쓰기도 합니다.
유량이 r²이 아니라 r⁴에 비례하는 이유는 무엇인가요?
단면적이 r²에 비례하고, 같은 압력 기울기에서 평균 유속도 r²에 비례하기 때문입니다.
관을 직렬이나 병렬로 연결하면 어떻게 되나요?
전기 저항처럼 직렬은 저항을 더하고, 병렬은 저항의 역수를 더합니다.
출처: S. P. Sutera, R. Skalak, The history of Poiseuille's law, Annual Review of Fluid Mechanics 25 (1993) 1–19 · F. M. White, Viscous Fluid Flow, McGraw-Hill