홍라이프 계산기배음 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 진동하는 현이나 공기 기둥의 배음을 기본음부터 8번째 상음까지 나열하고, 각각에 가장 가까운 평균율 음이름과 센트 단위 차이를 보여 줍니다. 20kHz 이하 배음의 개수와 기본음에 해당하는 관 길이도 알려 주어 연주자, 악기 제작자, 음향학 학생이 씁니다.
계산 방법
현 또는 양쪽이 열린 관: f_n = n f₁ (n = 1, 2, 3 …), 관 길이 L = v ÷ (2 f₁)
한쪽이 닫힌 관: 홀수 배음만, f_n = n f₁ (n = 1, 3, 5 …), L = v ÷ (4 f₁)
가장 가까운 음: MIDI 번호 = 69 + 12 log₂(f ÷ A4), 센트 차이 = 100 × (정확한 값 − 가장 가까운 정수)
- A4는 기준 음높이(기본 440Hz), v는 관 길이 계산에 쓰는 음속입니다.
원리
양 끝이 고정된 현이나 열린 관은 길이에 반파장이 정수 개 들어맞는 모양으로만 진동할 수 있습니다. 가장 긴 것이 기본음이고, 나머지는 기본음의 정확한 정수배입니다. 한쪽이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디, 열린 끝이 배가 되어야 하므로 홀수배만 허용됩니다. 귀는 이 배음들이 섞인 것을 음색으로 듣습니다.
예제 풀이
기본값인 f₁ = 110Hz, 현 또는 열린 관, A4 = 440Hz, 음속 343m/s로 계산합니다.
- 기본음: 110Hz · A2 +0¢입니다.
- 상음 1: 220Hz · A3 +0¢, 상음 2: 330Hz · E4 +2¢, 상음 3: 440Hz · A4 +0¢입니다.
- 상음 4: 550Hz · C♯5 −14¢, 상음 5: 660Hz · E5 +2¢, 상음 6: 770Hz · G5 −31¢입니다.
- 상음 7: 880Hz · A5 +0¢, 상음 8: 990Hz · B5 +4¢입니다.
- 20kHz 이하 배음 수 = floor(20,000 ÷ 110) = 181개, 관 길이 = 343 ÷ 220 = 1.559m입니다.
결과 해석
옥타브(2, 4, 8배음)는 피아노와 정확히 일치합니다. 완전5도(3배음)는 평균율보다 2센트 높고, 장3도(5배음)는 약 14센트 낮으며, 7배음은 약 31센트 낮아 피아노 위에서는 음이 맞지 않게 들립니다. 이 차이가 순정률의 바탕입니다. 금관 악기 연주자가 입술로 음높이를 미세하게 조정하는 이유도 여기에 있습니다.
흔한 실수
- 배음 번호와 상음 번호를 혼동하는 경우(상음 1은 2배음입니다)
- 한쪽이 닫힌 관에서 짝수 배음을 기대하는 경우
- 관 끝 보정 없이 관 길이를 쓰는 경우(실제 관은 v/(2f)보다 조금 짧습니다)
자주 묻는 질문
클라리넷 소리가 플루트와 다른 이유는 무엇입니까?
클라리넷은 한쪽이 닫힌 관처럼 작동해 낮은 음역에서 홀수 배음이 두드러지기 때문입니다.
센트는 무엇입니까?
평균율 반음의 100분의 1입니다.
7배음은 실제 음입니까?
자연 배음이지만 가장 가까운 평균율 음보다 약 31센트 낮습니다.
출처: OpenStax, University Physics Volume 1 (2016), section 17.5 "Normal Modes of a Standing Sound Wave"