홍라이프 계산기조화파 방정식 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 사인 모양의 진행파 y(x, t) = A sin(kx ∓ ωt + φ)를 원하는 위치와 시각에서 계산합니다. 변위, 숫자를 넣은 파동 방정식, 파수, 각진동수, 파동 속도, 주기, 그리고 매질의 가로 방향 속도와 가속도를 보여 주어 파동 단원의 물리 수업에 많이 쓰입니다.
계산 방법
y(x, t) = A sin(kx ∓ ωt + φ), +x 방향 진행이면 빼기, −x 방향이면 더하기
k = 2π ÷ λ, ω = 2π f, v = ω ÷ k = f λ, T = 1 ÷ f
매질의 가로 속도 v_y = ∓A ω cos(kx ∓ ωt + φ)
매질의 가로 가속도 a_y = −A ω² sin(kx ∓ ωt + φ)
- 단위는 입력을 따릅니다. A를 m로 넣으면 y는 m, v_y는 m/s입니다.
원리
진행파는 모양을 유지한 채 이동하는 파형입니다. 모양을 (kx − ωt)의 사인으로 쓰면 파형이 움직입니다. t가 늘어날 때 같은 위상을 유지하려면 x가 ω/k만큼 늘어나야 하므로 파형은 v = ω/k로 이동합니다. 파수 k는 공간에서 위상이 바뀌는 빠르기, ω는 시간에서 위상이 바뀌는 빠르기입니다. 매질의 각 점은 위아래로 단진동만 하므로, 그 속도와 가속도는 시간으로 미분해 얻습니다.
예제 풀이
기본값인 A = 0.05m, λ = 2m, f = 3Hz, φ = 0, +x 방향, x = 0.5m, t = 0.1s로 계산합니다.
- k = 2π ÷ 2 = 3.142rad/m, ω = 2π × 3 = 18.85rad/s입니다.
- 방정식은 y = 0.05 sin(3.142x − 18.85t), v = 3 × 2 = 6m/s, T = 0.3333s입니다.
- 위상 = 3.142 × 0.5 − 18.85 × 0.1 = −0.3142rad이며, 0~2π로 나타내면 5.969rad입니다.
- y = 0.05 × sin(−0.3142) = −0.01545m입니다.
- v_y = −0.05 × 18.85 × cos(−0.3142) = −0.8963m/s, a_y = −18.85² × (−0.01545) = 5.49m/s²입니다.
| 위치 x (m) | 변위 y(x, t) |
|---|---|
| 0.125 | -0.04985 |
| 0.25 | -0.04455 |
| 0.375 | -0.03247 |
| 0.5 | -0.01545 |
| 0.625 | 0.003923 |
| 0.75 | 0.0227 |
| 1 | 0.04755 |
결과 해석
변위는 항상 −A와 +A 사이에 있습니다. 가로 속도는 y = 0에서 가장 크고 마루에서 0이며, 가속도는 마루에서 가장 크고 항상 y = 0 쪽을 향합니다. 매질의 속도 v_y와 파동의 속도 v를 혼동하지 마십시오. 이 예에서 매질의 한 점은 약 0.9m/s로 움직이지만 파형은 6m/s로 나아갑니다.
흔한 실수
- 위상에 라디안 대신 도를 쓰는 경우
- 진행 방향에 따른 부호 규칙을 혼동하는 경우
- 진동수 f와 각진동수 ω를 혼동하는 경우
자주 묻는 질문
파수는 무엇을 뜻합니까?
1m당 위상이 몇 라디안 변하는지를 나타내며, 2π를 파장으로 나눈 값입니다.
파동은 얼마나 빨리 나아갑니까?
v = fλ로, 이 예에서는 6m/s입니다.
이 예에서 가속도가 양수인 이유는 무엇입니까?
그 점이 평형 위치보다 아래에 있고, 가속도는 항상 평형 위치 쪽을 향하기 때문입니다.
출처: OpenStax, University Physics Volume 1 (2016), section 16.2 "Mathematics of Waves"