홍라이프 계산기대권 거리 계산기(하버사인 공식) 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 위도와 경도로 주어진 두 지점 사이의 지표면 최단 거리와, 첫 지점에서 출발할 때의 방위각을 구합니다. 구면 위의 최단 경로는 대권(대원)을 따르며, 장거리 항공기와 선박도 이 경로에 가깝게 움직입니다. 여행 거리, GPS 기록 분석, 물류, 지리 학습에 널리 쓰입니다.
계산 방법
위도 φ₁, φ₂와 경도 차 Δλ를 라디안으로 바꾼 뒤 계산합니다.
- a = sin²(Δφ / 2) + cos φ₁ × cos φ₂ × sin²(Δλ / 2)
- 중심각 c = 2 × arcsin(√a)
- 거리 d = R × c, 지구 평균 반지름 R = 6,371.0088 km
- 초기 방위각 θ = atan2(sin Δλ × cos φ₂, cos φ₁ × sin φ₂ − sin φ₁ × cos φ₂ × cos Δλ)를 0~360°로 바꿉니다.
마일 = km ÷ 1.609344, 해리 = km ÷ 1.852입니다.
원리
구면 위 거리는 반지름에 두 점이 중심에서 이루는 각을 곱한 값입니다. 하버사인 함수 hav θ = sin²(θ/2)를 쓰면 구면 코사인 법칙을 변형해 이 각을 구하는데, 두 점이 아주 가까워도 수치 오차가 거의 없다는 장점이 있습니다. 일반 코사인 공식은 가까운 거리에서 정밀도가 떨어집니다. 방위각 공식은 두 지점과 북극이 이루는 같은 구면 삼각형에서 나옵니다. 대권을 따라가면 방위가 계속 바뀌므로 표시값은 출발 순간의 방위입니다.
예제 풀이
- 입력값: 서울(북위 37.5665°, 동경 126.9780°)에서 도쿄(북위 35.6762°, 동경 139.6503°)까지입니다.
- Δφ = −1.8903°, Δλ = 12.6723°입니다.
- a = sin²(−0.945°) + cos 37.5665° × cos 35.6762° × sin²(6.336°) = 0.0081144입니다.
- c = 2 × arcsin(0.090080) = 0.180405 rad(10.34°)입니다.
- d = 6,371.0088 × 0.180405 = 1,149.358923 km = 714.1785245마일 = 620.6041703해리입니다.
- 초기 방위각 = 96.69609077°로 정동보다 약간 남쪽입니다.
| 경도 2 | 거리 (km) |
|---|---|
| 34.9 | 7,849.009499 |
| 69.8 | 5,024.416886 |
| 105 | 1,991.211592 |
| 140 | 1,149.332662 |
| 175 | 4,206.158541 |
| 209 | 7,107.443055 |
| 279 | 11,385.78578 |
결과 해석
결과는 직선 거리이며 도로, 철도, 항공로는 지형과 항로, 공항 위치 때문에 항상 더 깁니다. 방위각은 진북에서 시계 방향으로 잽니다(북 0°, 동 90°, 남 180°, 서 270°). 나침반이 가리키는 자북과는 지역의 자기 편각만큼 차이가 납니다.
흔한 실수
- 위도와 경도의 순서를 바꾸거나 서경·남위를 양수로 넣습니다.
- 도·분·초를 십진 도로 바꾸지 않습니다(37°34′ = 37.567°).
- 아주 정밀한 값을 기대합니다. 구 모형은 GPS가 쓰는 타원체 값과 최대 약 0.5% 차이가 납니다.
자주 묻는 질문
서울에서 뉴욕 가는 비행기가 북극 가까이 지나는 이유는 무엇인가요?
평면 지도에서는 휘어 보여도 지구본 위에서는 그것이 최단 경로이며, 북반구 장거리 노선은 극 쪽으로 휘어집니다.
반지름을 6,371.0088 km로 쓰는 이유는 무엇인가요?
GRS 80·WGS 84 타원체의 평균 반지름 (2a + b)/3으로, 국제측지학·지구물리학연맹(IUGG)이 권장하는 값입니다.
돌아오는 길의 방위각은 반대 방향인가요?
단순히 180°를 더한 값이 아닙니다. 두 지점을 바꿔 다시 계산해야 합니다.
출처: R. W. Sinnott, Virtues of the Haversine, Sky and Telescope 68(2), 159 (1984) · H. Moritz, Geodetic Reference System 1980, Journal of Geodesy 74, 128–133 (2000) · C. F. F. Karney, Algorithms for geodesics, Journal of Geodesy 87, 43–55 (2013)