힐 구·영향권 계산기

힐 구와 영향권 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

훨씬 무거운 천체를 도는 작은 천체(별을 도는 행성, 행성을 도는 위성)는 자기 중력이 우세한 영역을 주변에 가지고 있습니다. 이 계산기는 그 영역을 나타내는 대표적인 두 반지름을 구합니다. 위성을 붙잡아 둘 수 있는 경계인 힐 반지름과, 우주 탐사 궤도 설계에서 어느 천체의 중력을 중심으로 볼지 정하는 라플라스 영향권 반지름입니다.

계산 방법

• 힐 반지름: r_H = a × (m / 3M)^(1/3)
• 영향권 반지름: r_SOI = a × (m / M)^(2/5)

a는 작은 천체 궤도의 긴반지름(km), m은 그 천체의 질량, M은 중심 천체의 질량(kg)입니다. 질량은 비율만 쓰이며, 결과는 a와 같은 단위로 나옵니다. m이 M보다 매우 작고 궤도가 원에 가깝다고 가정합니다.

원리

힐 반지름은 제한 삼체 문제에서 나옵니다. 행성과 함께 회전하는 좌표계에서 시험 입자는 행성의 인력, 별의 인력, 원심 효과를 함께 받습니다. 별과 행성을 잇는 직선 위에서 이 힘들이 균형을 이루는 곳이 라그랑주점 L1, L2이며, 행성에서의 거리가 약 a(m/3M)^(1/3)입니다. 이보다 안쪽에서는 행성 중력이 별의 기조력을 이겨 위성을 붙잡을 수 있습니다. 다만 오래 안정한 궤도는 이보다 꽤 안쪽, 흔히 힐 반지름의 절반 이하로 봅니다.

영향권은 다른 질문에 답합니다. 운동을 '행성을 도는 궤도에 별이 섭동을 주는 것'으로 볼지, 그 반대로 볼지 오차를 비교해 경계를 정하면 지수 2/5가 나옵니다. 패치드 코닉 방법은 이 경계에서 태양 중심 궤도와 행성 중심 궤도를 바꿔 계산합니다.

예제 풀이

1. 입력값: a = 149,597,870.7 km(1 au), m = 5.972 × 10²⁴ kg(지구), M = 1.98847 × 10³⁰ kg(태양)입니다.
2. m/(3M) = 1.0011 × 10⁻⁶이고, 세제곱근은 0.010004입니다.
3. 힐 반지름 = 149,597,870.7 × 0.010004 = 1,496,529.374 km로 약 0.01 au입니다.
4. m/M = 3.0033 × 10⁻⁶이고, 0.4제곱은 0.0061808입니다.
5. 영향권 반지름은 924,625.176 km입니다.

결과 해석

지구의 힐 반지름 약 150만 km는 우주망원경이 머무는 태양-지구 L1, L2점까지의 거리와 거의 같습니다. 약 38만 4,400 km 거리의 달은 힐 반지름의 4분의 1쯤에 있어 안정적으로 묶여 있습니다. 행성의 경우 영향권은 항상 힐 반지름보다 작습니다. 무겁고 먼 행성일수록 힐 구가 커서 목성은 수천만 km에 이릅니다.

흔한 실수

• a를 m나 au로 넣고 결과를 km로 읽는 경우. 결과 단위는 a를 따릅니다.
• 힐 반지름 안의 모든 궤도가 수십억 년 동안 안정하다고 보는 경우.
• 힐 구와 로슈 한계를 혼동하는 경우.

자주 묻는 질문

힐 구와 로슈 한계는 어떻게 다른가요?

로슈 한계는 기조력 때문에 위성이 부서지는 안쪽 경계이고, 힐 반지름은 위성을 붙잡을 수 있는 바깥 경계입니다.

탐사선 궤도 설계에서는 왜 영향권을 쓰나요?

패치드 코닉 방법은 한 천체를 무시할 때 생기는 오차가 가장 작은 전환 경계가 필요한데, 라플라스 기준이 바로 그 목적에 맞게 정의되어 있기 때문입니다.

위성도 자기 위성을 가질 수 있나요?

위성의 힐 구 깊숙한 곳이라면 이론상 가능하지만, 행성의 기조력 때문에 대개 오래 유지되지 못합니다.

출처: C. D. Murray and S. F. Dermott, Solar System Dynamics, Cambridge University Press · R. R. Bate, D. D. Mueller and J. E. White, Fundamentals of Astrodynamics, Dover