홍라이프 계산기호만 전이 궤도 계산 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
호만 전이는 같은 천체를 도는 두 원궤도(같은 평면) 사이를 두 번의 엔진 분사로 옮겨 가는 고전적인 궤도 기동입니다. 이 계산기는 두 번의 속도 변화량(Δv)과 그 합, 전이에 걸리는 시간을 구합니다. 저궤도 위성을 정지궤도로 올리는 경우처럼, 필요한 추진제를 처음 어림할 때 씁니다.
계산 방법
- 1차 분사: Δv₁ = √(μ/r₁) × (√(2r₂/(r₁ + r₂)) − 1)
- 2차 분사: Δv₂ = √(μ/r₂) × (1 − √(2r₁/(r₁ + r₂)))
- 전이 시간: t = π × √(a³/μ), a = (r₁ + r₂)/2로 전이 타원 주기의 절반입니다.
r₁, r₂는 행성 중심에서 잰 궤도 반지름(km), μ = GM(km³/s², 지구 398,600.4418)입니다. Δv는 km/s, 시간은 시간(h)으로 나타냅니다.
원리
전이 궤도는 안쪽 원궤도에 근지점이, 바깥 원궤도에 원지점이 닿는 타원입니다. 어떤 반지름에서의 속도는 활력 방정식 v² = μ(2/r − 1/a)를 따릅니다. 1차 분사로 원궤도 속도 √(μ/r₁)를 타원의 근지점 속도까지 올리고, 반 바퀴를 관성 비행한 뒤 원지점에서 2차 분사로 바깥 원궤도 속도 √(μ/r₂)에 맞춥니다. 진행 방향으로만 가속하므로 대부분의 궤도 반지름 비에서 두 번 분사하는 방법 중 Δv가 가장 작습니다.
예제 풀이
- 기본값은 r₁ = 6,771 km(고도 약 400 km), r₂ = 42,164 km(정지궤도 반지름), μ = 398,600.4418입니다.
- 원궤도 속도는 7.672599 km/s와 3.074666 km/s입니다.
- 전이 타원의 근지점 속도는 10.072067 km/s, 원지점 속도는 1.617445 km/s입니다.
- Δv₁ = 10.072067 − 7.672599 = 2.399467858 km/s, Δv₂ = 3.074666 − 1.617445 = 1.457221015 km/s입니다.
- 총 Δv = 3.856688874 km/s이고, a = 24,467.5 km이므로 t = 5.290087793 h입니다.
| 처음 궤도 반지름 (km) | 전체 Δv (km/s) |
|---|---|
| 1,693 | 8.153664908 |
| 3,386 | 5.802441222 |
| 5,078 | 4.626239017 |
| 6,771 | 3.856688874 |
| 8,464 | 3.291060437 |
| 10,156 | 2.847510362 |
| 13,542 | 2.180596301 |
결과 해석
Δv는 로켓 방정식을 통해 추진제 질량으로 바뀌므로 수백 m/s 차이도 큰 질량 차이가 됩니다. 실제 정지궤도 발사는 발사장이 적도에 있지 않아 궤도면 변경이 추가로 필요합니다. r₂/r₁이 약 11.94보다 크면 세 번 분사하는 이중 타원 전이가 Δv는 더 작지만 시간이 훨씬 오래 걸립니다.
흔한 실수
- 중심 반지름 대신 고도를 넣는 경우(지구 반지름 약 6,371 km를 더해야 합니다)
- 속도 차이가 아니라 속도 자체를 더하는 경우
- 순간 분사와 같은 평면의 원궤도라는 가정을 잊는 경우
자주 묻는 질문
행성 간 이동에도 쓸 수 있나요?
태양의 μ와 행성 궤도 반지름을 넣으면 태양 중심 Δv를 얻습니다. 행성 출발과 포획에 필요한 Δv는 따로 더해야 합니다.
이 예에서 2차 분사가 더 작은 이유는 무엇인가요?
지구에서 멀수록 속도가 느려 원지점 속도와 원궤도 속도의 차이도 작기 때문입니다.
전이 시간은 바꿀 수 없나요?
호만 전이에서는 항상 타원 주기의 절반으로 정해지며, 더 빨리 가려면 Δv가 더 듭니다.
출처: Hohmann W., Die Erreichbarkeit der Himmelskörper, Oldenbourg, 1925 · Curtis H.D., Orbital Mechanics for Engineering Students, Elsevier · Vallado D.A., Fundamentals of Astrodynamics and Applications, Microcosm Press