홍라이프 계산기훅의 법칙·용수철 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
훅의 법칙은 이상적인 용수철이 늘어나거나 줄어든 길이에 비례하는 힘으로 되돌아가려 한다는 법칙입니다. 이 계산기는 탄성력, 용수철에 저장된 탄성 퍼텐셜 에너지, 그리고 매단 물체가 진동하는 주기와 진동수를 구합니다. 물리 실험, 기계 부품용 용수철 선택, 서스펜션과 진동 추정, 용수철저울을 이해하는 데 씁니다.
계산 방법
- 탄성력: F = k x입니다. k는 용수철 상수(N/m), x는 원래 길이에서 늘어나거나 줄어든 길이(m)입니다.
- 저장된 에너지: E = ½ k x²(J)입니다.
- 주기: T = 2π √(m ÷ k)(s)이며 m은 매단 물체의 질량(kg)입니다.
- 진동수: f = (1 ÷ 2π) √(k ÷ m) = 1 ÷ T(Hz)입니다.
원리
변형이 작을 때는 물질 속 원자 사이의 결합이 작은 용수철처럼 행동해, 되돌아가려는 힘이 변형량에 비례합니다. 로버트 훅은 1678년에 이를 "늘어난 만큼 힘이 생긴다"라고 정리했습니다. 저장된 에너지는 힘-늘어난 길이 그래프 아래 넓이로, 높이 kx, 밑변 x인 삼각형이므로 ½kx²입니다. 용수철에 매단 물체는 언제나 평형점을 향하고 거리에 비례하는 힘을 받아 단진동을 합니다. 용수철이 단단할수록 빨리 되돌아오고 질량이 클수록 관성 때문에 느려지므로, 주기는 진폭과 무관하게 √(m ÷ k)에 비례합니다.
예제 풀이
- 입력값은 k = 200 N/m, x = 0.05 m, m = 0.5 kg입니다.
- 탄성력은 200 × 0.05 = 10 N입니다.
- 에너지는 ½ × 200 × 0.05² = 0.25 J입니다.
- 주기는 2π × √(0.5 ÷ 200) = 2π × 0.05 ≈ 0.31416 s입니다.
- 진동수는 1 ÷ 0.31416 ≈ 3.1831 Hz입니다.
| 용수철 상수 k (N/m) | 힘 (N) |
|---|---|
| 50 | 2.5 |
| 100 | 5 |
| 150 | 7.5 |
| 200 | 10 |
| 250 | 12.5 |
| 300 | 15 |
| 400 | 20 |
결과 해석
k = 200 N/m는 1 cm 늘일 때마다 2 N씩 힘이 커진다는 뜻입니다. 용수철이 비례 구간 안에 있는 한, 물체를 얼마나 당겼다 놓든 주기는 같습니다. 물체를 세로로 매달면 mg ÷ k(이 예에서 약 2.45 cm)만큼 아래에서 평형을 이루고 그 점을 중심으로 같은 주기로 진동합니다. 주기를 절반으로 줄이려면 용수철 상수를 4배로 하거나 질량을 4분의 1로 해야 합니다.
흔한 실수
- x를 m가 아닌 cm나 mm로 넣습니다.
- 힘을 구할 때 원래 길이가 아니라 매달린 위치를 기준으로 x를 잽니다.
- 용수철 자체의 질량을 무시합니다. 실제 주기는 조금 더 깁니다.
- 탄성 한계를 넘어서도 훅의 법칙이 성립한다고 생각합니다.
자주 묻는 질문
용수철 상수의 단위는 무엇인가요?
N/m입니다. 제품 자료에는 N/mm가 많이 쓰이며 1 N/mm = 1,000 N/m입니다.
용수철 상수는 어떻게 재나요?
질량을 아는 추를 매달아 늘어난 길이를 재고, 무게 mg를 그 길이로 나눕니다.
세로로 매달면 중력 때문에 주기가 달라지나요?
아닙니다. 평형 위치만 내려갈 뿐 주기는 그대로 2π√(m ÷ k)입니다.
출처: Robert Hooke, Lectures de Potentia Restitutiva, or of Spring, London, 1678 · Halliday, Resnick and Walker, Fundamentals of Physics, Wiley