홍라이프 계산기진성 캐리어 농도 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 순수한 반도체에서 1cm³당 자유 전자 수(정공 수와 같음)인 진성 캐리어 농도 nᵢ를 원하는 온도에서 구합니다. 실리콘은 이오페 연구소(Ioffe Institute) 매개변수를 쓰고, 직접 띠 간격과 유효 상태 밀도를 넣을 수도 있습니다. 반도체 소자 수업의 기본 도구입니다.
계산 방법
nᵢ = √(N_c N_v) × exp(−E_g ÷ (2kT))
실리콘(Ioffe): E_g = 1.17 − 4.73 × 10⁻⁴ T² ÷ (T + 636)eV
N_c = 6.2 × 10¹⁵ T^(3/2)cm⁻³, N_v = 3.5 × 10¹⁵ T^(3/2)cm⁻³
- k = 8.617333262 × 10⁻⁵eV/K이며 T는 절대온도(K)입니다.
- 사용자 지정은 300K의 N_c, N_v를 (T/300)^(3/2)로 환산하고 입력한 띠 간격을 씁니다.
원리
순수한 반도체에서는 열에너지가 가끔 전자를 띠 간격 너머로 올려 보내고, 그 자리에 정공이 남으므로 전자와 정공이 짝지어 생깁니다. 띠 간격을 건널 확률은 띠 간격을 열에너지로 나눈 값에 대해 지수적으로 줄어들기 때문에 nᵢ는 온도와 E_g에 매우 민감합니다. N_c와 N_v는 각 띠 가장자리 근처에서 실질적으로 쓸 수 있는 상태의 수로, T^(3/2)에 비례해 커집니다.
예제 풀이
기본값인 T = 300K, 실리콘으로 계산합니다.
- E_g = 1.17 − 4.73 × 10⁻⁴ × 300² ÷ 936 = 1.1245eV입니다.
- N_c = 6.2 × 10¹⁵ × 300^1.5 = 3.222 × 10¹⁹cm⁻³, N_v = 1.819 × 10¹⁹cm⁻³입니다.
- kT = 25.852meV입니다.
- nᵢ = √(3.222 × 10¹⁹ × 1.819 × 10¹⁹) × exp(−1.1245 ÷ 0.051704) = 8.677 × 10⁹cm⁻³ = 8.677 × 10¹⁵m⁻³입니다.
결과 해석
300K에서 실리콘의 nᵢ는 10¹⁰cm⁻³ 규모입니다. 이오페 자료는 1 × 10¹⁰을 제시하고, 이 공식으로는 약 0.9 × 10¹⁰이 나옵니다. 이는 보통 10¹⁵cm⁻³ 이상인 도핑 농도에 비하면 아주 작아서, 도핑된 실리콘의 전도도는 도펀트가 좌우합니다. 상온 근처에서는 약 8K 오를 때마다 nᵢ가 대략 두 배가 되며, 도핑 농도에 가까워지면 소자가 설계대로 동작하지 않습니다.
흔한 실수
- 동작 온도가 아니라 0K의 띠 간격을 쓰는 경우
- cm⁻³와 m⁻³를 섞는 경우
- nᵢ를 도핑된 시료의 캐리어 농도로 오해하는 경우
자주 묻는 질문
nᵢ는 왜 온도에 따라 그렇게 빨리 커집니까?
−E_g/(2kT)에 지수적으로 의존하므로 T가 조금만 올라도 캐리어 수가 크게 늘기 때문입니다.
도핑된 반도체에서 전자와 정공은 어떤 관계입니까?
평형 상태에서는 두 농도의 곱이 nᵢ²로 일정합니다(질량 작용 법칙).
저마늄의 nᵢ가 실리콘보다 큰 이유는 무엇입니까?
띠 간격이 더 작기 때문입니다.
출처: Ioffe Institute, NSM Archive, "Physical Properties of Semiconductors — Si: Band structure and carrier concentration"