홍라이프 계산기케플러 제3법칙 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
케플러 제3법칙은 궤도의 크기와 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간을 이어 줍니다. 이 계산기는 궤도 긴반지름(천문단위, AU)과 중심 천체의 질량(태양 질량 단위)을 넣으면 공전 주기를 년과 일 단위로 알려 줍니다. 행성, 소행성, 혜성은 물론 다른 별을 도는 외계 행성에도 쓸 수 있습니다.
계산 방법
T² = a³ ÷ M, 즉 T = √(a³ ÷ M)입니다.
- T는 공전 주기(년)입니다.
- a는 궤도 긴반지름(타원의 가장 긴 지름의 절반, AU)입니다. 1 AU는 지구와 태양 사이의 평균 거리로, 정확히 149,597,870,700 m로 정의되어 있습니다.
- M은 중심 천체의 질량(태양 질량)입니다.
일 단위 주기는 율리우스년 기준으로 T × 365.25입니다.
원리
케플러는 티코 브라헤의 관측 자료를 분석해 행성 공전 주기의 제곱이 태양까지 평균 거리의 세제곱에 비례한다는 사실을 찾아내 1619년에 발표했습니다. 뒤에 뉴턴이 만유인력 법칙으로 이를 유도했습니다. 원 궤도에서 중력이 구심력이 되므로 GM ÷ r² = (2π ÷ T)²r이고, 정리하면 T² = 4π²r³ ÷ GM입니다. 타원 궤도에서는 r 자리에 긴반지름 a를 넣으면 같은 식이 성립합니다.
년, AU, 태양 질량을 단위로 쓰면 지구-태양에서 상수가 1이 되어 T² = a³ ÷ M이라는 간단한 꼴이 됩니다. 엄밀히 M은 두 천체 질량의 합이지만 행성의 질량은 별에 비해 무시할 만합니다.
예제 풀이
- 입력값: a = 1.524 AU(화성 궤도 정도), M = 태양 질량 1입니다.
- a³ = 1.524³ = 3.539606입니다.
- T = √(3.539606 ÷ 1) ≈ 1.881384018년입니다.
- 일 단위: 1.881384018 × 365.25 ≈ 687.1755127일입니다.
| 궤도 긴반지름 (AU) | 주기 (년) |
|---|---|
| 0.381 | 0.2351730023 |
| 0.762 | 0.6651696986 |
| 1.14 | 1.221994766 |
| 1.52 | 1.881384018 |
| 1.91 | 2.629314098 |
| 2.29 | 3.456323141 |
| 3.05 | 5.321357589 |
결과 해석
결과는 실제 화성의 항성 공전 주기 약 687일과 잘 맞습니다. 주기는 a의 1.5제곱에 비례하므로 궤도가 두 배 크면 주기는 약 2.83배입니다. 5.2 AU의 목성은 약 11.86년, 0.387 AU의 수성은 약 88일이 걸립니다. 중심 별이 무거우면 같은 궤도에서도 주기가 짧아져, 태양 질량의 4배인 별을 1 AU에서 돌면 반년이면 됩니다.
흔한 실수
- 이심률이 큰 궤도에서 긴반지름 대신 다른 평균 거리를 넣는 경우
- AU 대신 km를, 태양 질량 대신 kg을 넣는 경우
- 항성 주기 대신 지구에서 본 회합 주기를 기대하는 경우
자주 묻는 질문
목성의 위성에도 쓸 수 있나요?
목성 질량을 태양 질량 단위(약 0.000955)로, 궤도를 AU로 넣으면 같은 식이 성립합니다.
주기로 긴반지름을 구하려면 어떻게 하나요?
a = (M × T²)^(1/3)로 바꿉니다. 태양을 2년에 한 번 도는 천체는 a ≈ 1.587 AU입니다.
궤도의 모양이 주기에 영향을 주나요?
주지 않습니다. 긴반지름이 같으면 원이든 길쭉한 타원이든 주기가 같습니다.
출처: Johannes Kepler, Harmonices Mundi (1619) · 국제천문연맹(IAU) 2012 결의 B2(천문단위 정의) · Halliday, Resnick, Walker, Fundamentals of Physics, 중력 단원