홍라이프 계산기길이 수축 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 특수상대성이론으로 움직이는 물체가 운동 방향으로 얼마나 짧게 측정되는지 구합니다. 수축된 길이, 줄어든 길이, 고유 길이에 대한 백분율, 로런츠 인자를 보여 주어 물리 수업이나 빛의 속도 가까이에서 일어나는 일을 탐구할 때 쓰입니다.
계산 방법
L = L₀ √(1 − v²/c²) = L₀ ÷ γ
γ = 1 ÷ √(1 − v²/c²)
줄어든 길이 = L₀ (v/c)² ÷ (1 + √(1 − v²/c²))
- L₀는 물체가 정지해 있는 좌표계에서 잰 고유 길이이며, c = 299,792,458m/s입니다.
- 속도는 c에 대한 백분율이나 다른 단위로 넣을 수 있습니다.
원리
특수상대성이론은 빛의 속도가 모든 관측자에게 같다고 말합니다. 이를 지키려면 서로 움직이는 관측자들은 시간과 길이에 대해 서로 다른 값을 얻어야 합니다. 움직이는 물체의 길이를 재려면 양 끝을 같은 순간에 표시해야 하는데, 관측자마다 '같은 순간'이 다릅니다. 그 결과 움직이는 물체는 운동 방향으로 γ배만큼 짧게 측정됩니다. 운동에 수직인 폭은 변하지 않습니다. 줄어든 길이 식은 일상 속도에서도 반올림 오차가 생기지 않는 형태이며, 그런 속도에서 효과는 원자 크기보다 훨씬 작습니다.
예제 풀이
기본값인 L₀ = 100m, 속도 c의 90%로 계산합니다.
- v/c = 0.9이므로 √(1 − 0.81) = √0.19 = 0.43589입니다.
- γ = 1 ÷ 0.43589 = 2.29416입니다.
- L = 100 × 0.43589 = 43.589m로, 고유 길이의 43.589%입니다.
- 줄어든 길이 = 100 − 43.589 = 56.41m입니다.
| 정지 상태의 고유 길이 (m) | 수축된 길이 (m) |
|---|---|
| 25 | 10.8972 |
| 50 | 21.7945 |
| 75 | 32.6917 |
| 100 | 43.589 |
| 125 | 54.4862 |
| 150 | 65.3835 |
| 200 | 87.178 |
결과 해석
일상 속도에서 수축은 무시할 만하고, c에 가까워져야 크게 나타납니다. c의 50%에서도 길이는 약 87%이지만, 99%에서는 약 14%가 됩니다. 고유 길이는 항상 측정 가능한 가장 긴 길이입니다. 시속 1,000km로 나는 비행기에서도 수축 비율은 1조분의 1보다도 작아 전혀 느낄 수 없습니다. 대기 상층에서 생긴 빠른 뮤온이 지상까지 도달하는 것은 대표적인 검증 사례로, 뮤온의 좌표계에서는 대기가 수축되어 있습니다.
흔한 실수
- 운동 방향에 수직인 치수에도 수축을 적용하는 경우
- 고유 길이와 수축된 길이를 혼동하는 경우
- 물체가 물리적으로 눌린다고 생각하는 경우(좌표계 사이 측정값의 차이입니다)
자주 묻는 질문
움직이는 물체를 사진으로 찍으면 짧게 보입니까?
단순하지 않습니다. 빛이 오는 시간 차이 때문에 수축보다는 회전하거나 일그러진 것처럼 보입니다.
길이가 절반이 되려면 얼마나 빨라야 합니까?
γ = 2가 되는 빛의 속도의 약 86.6%입니다.
움직이는 물체 자신도 무언가를 느낍니까?
아닙니다. 자기 좌표계에서는 고유 길이 그대로입니다.
시간 지연과는 어떤 관계입니까?
둘 다 같은 γ를 쓰며, 길이가 줄어드는 비율만큼 움직이는 시계가 느려집니다.
출처: OpenStax, University Physics Volume 3 (2016), section 5.4 "Length Contraction"