홍라이프 계산기로트카–볼테라 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 고전적인 로트카–볼테라 포식자–피식자 모형을 모의 계산합니다. 처음 개체 수와 네 개의 비율 상수로부터 마지막 개체 수, 각 개체군이 오르내리는 범위, 평형점, 작은 진동의 주기, 모의 계산에서 찾은 주기를 구합니다. 생태학과 미분방정식 수업에 쓰입니다.
계산 방법
dx/dt = α x − β x y (피식자는 늘고 잡아먹힘)
dy/dt = δ x y − γ y (포식자는 먹어서 늘고 죽어서 줄어듦)
평형점: x* = γ ÷ δ, y* = α ÷ β
작은 진동의 주기 = 2π ÷ √(α γ)
- 시간 간격 0.01의 4차 룽게–쿠타 방법으로 적분합니다.
- 모의 주기는 피식자 정점 사이의 평균 시간입니다.
원리
포식자가 없으면 피식자는 지수적으로 늘고, 피식자가 없으면 포식자는 지수적으로 줄어듭니다. 두 종은 만남 항으로 연결됩니다. x·y에 비례하는 만남은 피식자를 줄이고 포식자를 먹입니다. 피식자가 많으면 포식자가 늘고, 늘어난 포식자가 피식자를 줄이며, 먹이가 줄면 포식자가 줄고, 다시 피식자가 회복됩니다. 그래서 개체 수는 평형점 둘레를 돌며, 포식자의 정점은 피식자의 정점보다 늦게 옵니다. 작은 진동은 주기 2π/√(αγ)를 가지며 큰 진동은 더 오래 걸립니다.
예제 풀이
기본값인 x₀ = 40, y₀ = 9, α = 0.5, β = 0.02, δ = 0.005, γ = 0.4, 시간 60으로 계산합니다.
- 평형 피식자 = 0.4 ÷ 0.005 = 80, 평형 포식자 = 0.5 ÷ 0.02 = 25입니다.
- 작은 진동의 주기 = 2π ÷ √(0.5 × 0.4) = 14입니다.
- 평형점에서 먼 곳에서 시작하므로 진폭이 커서, 피식자는 19.1~211.3, 포식자는 7.2~60.5 범위를 오갑니다.
- 모의 주기는 15.5로, 진동이 커서 14보다 깁니다.
- 시간 60 뒤에는 피식자 23.4, 포식자 14.7입니다.
| 포식자 증가 계수 δ (피식자 1마리·단위 시간당) | 마지막 피식자 수 |
|---|---|
| 0.00125 | 642.9 |
| 0.0025 | 57 |
| 0.00375 | 20.7 |
| 0.005 | 23.4 |
| 0.00625 | 28.6 |
| 0.0075 | 33 |
| 0.01 | 36.5 |
결과 해석
평형값은 개체 수가 그 둘레를 도는 평균 수준입니다. 이 모형에서 주기는 줄어들지도 커지지도 않으며, 크기는 출발점에만 달려 있습니다. 피식자 출생률 α를 높이면 피식자가 아니라 포식자의 평형값이 커지는데, 이는 이 모형의 잘 알려진 직관에 어긋나는 결과입니다.
흔한 실수
- 개체 수가 평형점에 머물 것이라 기대하는 경우(이 모형에서는 계속 순환합니다)
- β(만남당 피식자 손실)와 δ(만남당 포식자 증가)를 혼동하는 경우
- 큰 시간 간격으로 너무 오래 계산해 수치 오차로 주기가 흐트러지는 경우
자주 묻는 질문
포식자 정점이 피식자 정점 뒤에 오는 이유는 무엇입니까?
먹이가 많아진 뒤 포식자 수가 늘어나는 데 시간이 걸리기 때문입니다.
이 모형에서 한 종이 멸종할 수 있습니까?
둘 다 0보다 크게 시작하면 멸종하지 않고 계속 순환합니다.
α/β는 무엇을 뜻합니까?
피식자가 늘지도 줄지도 않는 포식자 수입니다.
모의 주기가 2π/√(αγ)보다 긴 이유는 무엇입니까?
그 식은 작은 진동에 대한 것이며, 큰 순환은 더 오래 걸리기 때문입니다.
출처: S. D. Ryan, Math 251 ODE and PDE, Lecture 29 "9.5 Predator-Prey Equations" (2012)