홍라이프 계산기평균 자유 행로 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 온도, 압력, 분자 지름, 몰질량으로 기체 분자가 충돌과 충돌 사이에 평균적으로 이동하는 거리인 평균 자유 행로를 구합니다. 수밀도, 제곱평균제곱근 속력, 평균 자유 시간, 충돌 빈도도 알려 주어 진공 기술, 기체 분자 운동론 수업, 기체를 연속체로 볼 수 있는지 판단할 때 쓰입니다.
계산 방법
λ = k_B T ÷ (√2 π d² p)
수밀도 n = p ÷ (k_B T)
v_rms = √(3 R T ÷ M), 평균 자유 시간 τ = λ ÷ v_rms, 충돌 빈도 = 1 ÷ τ
- k_B = 1.380649 × 10⁻²³J/K이며, 압력은 atm, Pa, Torr, mbar 중 하나(1atm = 101,325Pa), d는 nm, M은 g/mol입니다.
원리
분자를 지름 d인 단단한 공으로 봅니다. 분자는 움직이며 단면적 πd²인 원기둥을 쓸고 지나가고, 중심이 그 안에 있는 다른 분자와 부딪힙니다. 단위 길이당 충돌 수는 이 넓이 × 수밀도이므로 평균 자유 행로는 1 ÷ (n π d²)입니다. √2는 상대 분자들도 움직인다는 점을 보정합니다. n = p/(k_B T)이므로 행로는 온도에 비례해 길어지고 압력에 반비례합니다.
예제 풀이
기본값인 T = 273K, p = 1atm, d = 0.34nm, M = 39.9g/mol(아르곤)로 계산합니다.
- n = 101,325 ÷ (1.380649 × 10⁻²³ × 273) = 2.688 × 10²⁵m⁻³입니다.
- λ = 1.380649 × 10⁻²³ × 273 ÷ (√2 × π × (0.34 × 10⁻⁹)² × 101,325) = 7.243 × 10⁻⁸m = 72.43nm입니다.
- v_rms = √(3 × 8.314 × 273 ÷ 0.0399) = 413m/s입니다.
- τ = 72.43 × 10⁻⁹ ÷ 413 = 1.753 × 10⁻¹⁰s, 초당 약 5,704,000,000번 충돌합니다.
- λ ÷ d = 213입니다.
| 분자 지름 d (nm) | 평균 자유 행로 (m) |
|---|---|
| 0.085 | 0.000001159 |
| 0.17 | 2.897e-7 |
| 0.255 | 1.288e-7 |
| 0.34 | 7.243e-8 |
| 0.425 | 4.635e-8 |
| 0.51 | 3.219e-8 |
| 0.68 | 1.811e-8 |
결과 해석
대기압에서 평균 자유 행로는 수십 nm로, 분자 지름의 200배 정도입니다. 압력이 10분의 1로 줄 때마다 10배씩 길어지므로, 고진공에서는 수 m에서 수 km에 이르러 분자가 충돌 없이 벽에서 벽으로 날아갑니다. λ를 관이나 입자의 크기와 비교하면 기체 흐름이 연속체 흐름인지 분자 흐름인지 알 수 있습니다.
흔한 실수
- 지름과 반지름을 바꿔 쓰는 경우
- √2를 빠뜨리는 경우
- 압력 단위를 섞는 경우
- 유효 지름이 온도에 따라 달라지는 기체에 단단한 공 값을 그대로 쓰는 경우
자주 묻는 질문
해수면 공기의 평균 자유 행로는 얼마입니까?
약 70nm로, 아르곤 예와 비슷합니다.
진공에서 행로가 길어지는 이유는 무엇입니까?
부딪힐 분자가 적어지므로 행로가 압력에 반비례하기 때문입니다.
√2는 왜 들어갑니까?
상대 분자들의 움직임을 고려하기 위해서입니다.
평균 자유 시간은 무엇입니까?
충돌 사이의 평균 시간으로, λ를 분자 속력으로 나눈 값입니다.
출처: OpenStax, University Physics Volume 2 (2016), section 2.2 "Pressure, Temperature, and RMS Speed" · E. Al-Dmour, "Fundamentals of Vacuum Physics and Technology", CERN Accelerator School (2017)