홍라이프 계산기밀러 지수 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 결정면이 세 단위 격자 축과 만나는 절편을 밀러 지수(hkl)로 바꾸고, 입방 격자라면 이웃한 면 사이의 간격도 구합니다. 재료과학, 고체물리, X선 회절, 결정학 수업에서 쓰입니다.
계산 방법
- 절편을 격자 상수 a, b, c 단위로 씁니다(축과 평행하면 ∞).
- 역수를 취합니다(1/∞ = 0).
- 가장 작은 공통분모를 곱해 분수를 없애고, 공약수가 있으면 나눕니다.
- 음수 지수는 위에 막대를 그어 씁니다. 예: (1 1̅ 0)
입방 면간 거리: d = a ÷ √(h² + k² + l²)
- 절편은 1/2 같은 분수로 넣을 수 있으며, a는 pm입니다.
원리
결정 속 평행한 면들의 집합은 단위 격자를 어떻게 자르는지로 완전히 나타낼 수 있습니다. 역수를 쓰면 축과 평행한 면은 0이 되고, 촘촘한 면일수록 지수가 커집니다. 입방 격자에서 면간 거리의 역수는 (hkl) 벡터의 길이에 비례하므로 d = a/√(h² + k² + l²)가 됩니다. 이 간격이 회절의 브래그 법칙 nλ = 2d sin θ에 들어갑니다.
예제 풀이
기본값인 절편 1/2, 1, ∞, a = 361.5pm(구리)로 계산합니다.
- 역수는 2, 1, 0입니다.
- 분수나 공약수가 없으므로 지수는 (2 1 0)입니다.
- h² + k² + l² = 4 + 1 + 0 = 5입니다.
- d = 361.5 ÷ √5 = 161.67pm = 1.6167Å입니다.
결과 해석
(100), (110), (111) 같은 낮은 지수 면은 간격이 가장 넓고 보통 원자가 가장 빽빽하게 놓여 있습니다. 지수가 클수록 간격이 좁습니다. 구리 같은 면심 입방 금속에서는 h, k, l이 모두 홀수이거나 모두 짝수인 면만 회절 봉우리를 만들므로, (210)은 계산은 되지만 분말 회절 무늬에는 나타나지 않습니다. 면간 거리를 알면 X선 파장과 브래그 법칙으로 회절 봉우리가 나타날 각도를 미리 계산해 실험 결과와 비교할 수 있습니다.
흔한 실수
- 역수를 취하지 않는 경우
- ∞를 0 대신 지수로 쓰는 경우
- 원점을 지나는 면을 그대로 두는 경우(먼저 원점을 이웃 격자로 옮깁니다)
- 입방이 아닌 격자에 입방 면간 거리 식을 쓰는 경우
자주 묻는 질문
지수가 0이면 무슨 뜻입니까?
그 면이 해당 축과 평행하다는 뜻입니다.
결정학의 괄호는 무엇을 뜻합니까?
(hkl)은 한 면의 집합, {hkl}은 동등한 모든 면, [uvw]는 방향입니다.
구리의 분말 회절에서 (210)이 보이지 않는 이유는 무엇입니까?
면심 입방 격자에서는 홀수와 짝수가 섞인 지수의 회절 세기가 0이 되기 때문입니다.
면간 거리는 어디에 씁니까?
브래그 법칙에 넣어 회절 각도를 예측합니다.
출처: Standard crystallographic convention for Miller indices and cubic interplanar spacing (e.g. W. D. Callister, Materials Science and Engineering: An Introduction)