홍라이프 계산기혼합 온도 계산 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
온도가 다른 두 물질을 섞거나 맞닿게 두면 뜨거운 쪽에서 찬 쪽으로 열이 흘러 결국 같은 온도가 됩니다. 이 계산기는 각 물질의 질량, 비열, 처음 온도로 그 나중 온도(열평형 온도)를 구합니다. 목욕물이나 요리용으로 뜨거운 물과 찬물을 섞을 때, 달군 금속을 물에 담글 때, 물리·화학의 열량계 문제를 풀 때 씁니다.
계산 방법
T_f = (m₁c₁T₁ + m₂c₂T₂) ÷ (m₁c₁ + m₂c₂)
- m은 질량(kg), c는 비열(J/kg·K), T는 온도(°C)입니다.
- m·c는 열용량(J/K)으로, 온도를 1도 올리는 데 필요한 에너지입니다.
따라서 나중 온도는 처음 온도들을 각자의 열용량으로 가중한 평균입니다.
원리
에너지는 보존됩니다. 열이 밖으로 새지 않고 녹거나 끓는 일이 없다면, 뜨거운 물질이 잃은 열량과 찬 물질이 얻은 열량은 같습니다. m₁c₁(T₁ − T_f) = m₂c₂(T_f − T₂)를 T_f에 대해 풀면 위 식이 나옵니다. 식에 온도 차이만 들어가므로 °C로 계산하든 K로 계산하든 결과는 같습니다. 나중 온도는 언제나 두 처음 온도 사이에 있으며, 열용량이 큰 쪽에 더 가깝습니다.
예제 풀이
- 입력값: 물질 1은 80 °C 물 2 kg(c = 4186 J/kg·K), 물질 2는 20 °C 물 3 kg(c = 4186)입니다.
- 열용량은 2 × 4186 = 8372 J/K, 3 × 4186 = 12,558 J/K이고 합은 20,930 J/K입니다.
- 분자는 8372 × 80 + 12,558 × 20 = 920,920입니다.
- T_f = 920,920 ÷ 20,930 = 44 °C입니다.
- 둘 다 물이므로 비열이 약분되어 (2 × 80 + 3 × 20) ÷ 5 = 44 °C로도 구할 수 있습니다.
- 검산하면 뜨거운 물이 잃은 열 8372 × 36 = 301,392 J과 찬물이 얻은 열 12,558 × 24 = 301,392 J이 같습니다.
| 온도 1 (°C) | 나중 온도 (°C) |
|---|---|
| 20 | 20 |
| 40 | 28 |
| 60 | 36 |
| 80 | 44 |
| 100 | 52 |
| 120 | 60 |
| 160 | 76 |
결과 해석
결과는 손실이 없을 때의 이상적인 값입니다. 실제로는 용기가 열을 일부 흡수하고 공기 중으로 열이 빠져나가므로, 차가운 용기에 섞으면 측정 온도가 예측보다 조금 낮게 나오는 것이 보통입니다. 비열이 큰 물이 결과를 좌우하는 경우가 많습니다. 강철의 비열(약 490 J/kg·K)은 물의 8분의 1에도 못 미치므로, 뜨거운 쇳조각을 물에 넣어도 물 온도는 조금밖에 오르지 않습니다.
흔한 실수
- 용기의 열용량을 빠뜨립니다. 정밀한 열량 측정에서는 세 번째 항으로 더해야 합니다.
- 얼음이 녹거나 물이 끓는 경우에 이 식을 그대로 씁니다. 잠열을 따로 넣어야 합니다.
- 한쪽은 J/kg·K, 다른 쪽은 kJ/kg·K로 비열 단위를 섞어 넣습니다.
자주 묻는 질문
세 가지 이상을 섞을 때도 쓸 수 있나요?
네. 합을 늘려 T_f = ΣmᵢcᵢTᵢ ÷ Σmᵢcᵢ로 계산하며, 물질마다 항을 하나씩 더합니다.
목표 온도를 맞추려면 찬물이 얼마나 필요한가요?
식을 바꾸면 m₂ = m₁c₁(T₁ − T_f) ÷ (c₂(T_f − T₂))입니다. 80 °C 물 2 kg을 20 °C 물로 40 °C에 맞추려면 2 × 40 ÷ 20 = 4 kg이 필요합니다.
물을 kg 대신 L로 넣어도 되나요?
상온의 물은 1 L ≈ 1 kg이라 오차가 작습니다. 뜨거운 물은 밀도가 몇 퍼센트 낮아집니다.
출처: D. Halliday, R. Resnick and J. Walker, Fundamentals of Physics, Wiley, chapter on temperature, heat and the first law