홍라이프 계산기모어 원 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 평면 응력 변환과 모어 원을 적용합니다. 수직 응력 σx, σy와 전단 응력 τxy로부터 임의의 각도로 회전한 면의 응력, 원의 중심과 반지름, 주응력, 최대 면내 전단 응력, 그리고 이들이 나타나는 각도를 구합니다. 구조·기계 공학 학생이 재료역학 문제에 씁니다.
계산 방법
중심 C = (σx + σy) ÷ 2, 반지름 R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
σx′ = C + ((σx − σy)/2) cos 2θ + τxy sin 2θ
σy′ = C − ((σx − σy)/2) cos 2θ − τxy sin 2θ
τx′y′ = −((σx − σy)/2) sin 2θ + τxy cos 2θ
주응력 σ₁,₂ = C ± R, 각도 θp = ½ atan2(2τxy, σx − σy), 최대 전단 = R, 각도 θs = θp − 45°
- 인장을 양수로, θ는 반시계 방향을 양수로 하며, 응력은 MPa입니다.
원리
한 점의 응력은 그 점을 자르는 면의 방향에 따라 다르게 보입니다. 모든 방향에 대해 수직 응력과 전단 응력을 그리면 원이 되는데, 이것이 모어 원입니다. 자르는 면을 θ만큼 돌리면 원 위의 점은 2θ만큼 움직입니다. 원의 가장 오른쪽과 왼쪽 점이 전단이 0인 주응력이고, 맨 위와 아래가 최대 전단 응력입니다. σx′ + σy′는 항상 일정하므로 검산에 유용합니다.
예제 풀이
기본값인 σx = 50MPa, σy = −10MPa, τxy = 40MPa, θ = 30°로 계산합니다.
- C = (50 − 10) ÷ 2 = 20MPa, R = √(30² + 40²) = 50MPa입니다.
- 2θ = 60°이므로 σx′ = 20 + 30 × 0.5 + 40 × 0.866 = 69.64MPa, σy′ = −29.64MPa입니다.
- τx′y′ = −30 × 0.866 + 40 × 0.5 = −5.98MPa입니다.
- σ₁ = 20 + 50 = 70MPa, σ₂ = 20 − 50 = −30MPa, 최대 전단 = 50MPa입니다.
- θp = ½ atan2(80, 60) = 26.57°, θs = −18.43°입니다.
| 수직 응력 σx (MPa, 인장 +) | 회전한 면의 σx′ (MPa) |
|---|---|
| 12.5 | 41.52 |
| 25 | 50.89 |
| 37.5 | 60.27 |
| 50 | 69.64 |
| 62.5 | 79.02 |
| 75 | 88.39 |
| 100 | 107.14 |
결과 해석
주응력과 최대 전단 응력을 알맞은 파괴 이론으로 재료의 허용값과 비교하십시오. 연성 금속에는 최대 전단(트레스카)이나 폰 미제스 이론을, 취성 재료에는 최대 수직 응력 이론을 씁니다. 30°에서는 전단이 작은 것으로 보아 이미 주응력 방향에 가깝습니다.
흔한 실수
- 원 위에서 2θ 대신 θ만큼 돌리는 경우
- 식이 가정하는 것과 다른 전단 부호 규칙을 쓰는 경우
- 두 주응력의 부호가 같으면 3차원 절대 최대 전단이 R보다 클 수 있다는 점을 잊는 경우
자주 묻는 질문
모어 원에서 왜 2θ를 씁니까?
변환식이 sin 2θ와 cos 2θ에 의존하므로, 실제 90° 회전이 원 위에서는 180°가 되기 때문입니다.
전단 응력이 0인 곳은 어디입니까?
θp 각도의 주응력 면입니다.
최대 면내 전단이 절대 최대입니까?
항상 그렇지는 않습니다. 면 밖 σ₃ = 0을 고려하면 절대 최대가 더 클 수 있습니다.
답을 어떻게 검산합니까?
σx′ + σy′가 σx + σy와 같아야 합니다.
출처: Standard plane-stress transformation equations and Mohr's circle construction (strength-of-materials texts)