홍라이프 계산기뉴턴 냉각 법칙 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 물체가 주위 온도를 향해 식어 가는(또는 데워지는) 과정을 시간에 따라 예측합니다. 커피 한 잔, 주조품의 냉각, 식탁에 둔 음식, 법의학의 사후 경과 시간 추정 같은 경우에 쓰입니다. 일정 시간이 지난 뒤의 온도와 목표 온도에 도달하기까지의 시간을 함께 보여 줍니다.
계산 방법
T(t) = T_a + (T₀ − T_a) · e^(−kt)
- T₀: 처음 온도(°C), T_a: 주위 온도(°C)
- k: 냉각 상수(1/min). hA/(mc), 곧 대류 열전달계수와 표면적의 곱을 질량과 비열의 곱으로 나눈 값입니다.
- t: 경과 시간(min)
시간에 대해 풀면 t = ln[(T₀ − T_a)/(T_목표 − T_a)] / k입니다.
원리
뉴턴은 냉각 속도가 주위와의 온도 차에 비례한다는 사실을 관찰했습니다(dT/dt = −k(T − T_a)). 온도 차가 크면 빨리 식고, 주위 온도에 가까워질수록 추진력이 줄어 냉각이 느려집니다. 이 미분방정식을 풀면 온도 차가 지수적으로 줄어드는 해가 나옵니다. 1/k를 시상수라고 하며, 시상수만큼 시간이 흐를 때마다 남은 온도 차가 약 37%(1/e)로 줄어듭니다. 물체 내부 온도가 균일하고(비오 수가 작고) k가 일정하다는 가정이 깔려 있습니다.
예제 풀이
- 입력값: T₀ = 90 °C, T_a = 20 °C, k = 0.05 /min, t = 10 min, 목표 60 °C
- 처음 온도 차는 70 K, 지수는 −0.05 × 10 = −0.5이고 e^(−0.5) ≈ 0.60653입니다.
- 남은 온도 차는 70 × 0.60653 ≈ 42.457 K이므로 T(10) ≈ 20 + 42.457 = 62.46 °C입니다.
- 60 °C까지 걸리는 시간은 ln(70/40) ÷ 0.05 = 0.55962 ÷ 0.05 ≈ 11.19분입니다.
| 처음 온도 (°C) | t분 후 온도 (°C) |
|---|---|
| 22.5 | 21.51632665 |
| 45 | 35.16326649 |
| 67.5 | 48.81020634 |
| 90 | 62.45714618 |
| 112 | 76.10408602 |
| 135 | 89.75102587 |
| 180 | 117.0449056 |
결과 해석
주위와의 온도 차는 ln 2/k분마다 절반이 되며, 이 예에서는 약 13.9분입니다. 같은 k라면 20분(시상수 1회) 뒤 약 46 °C, 30분 뒤 약 36 °C가 됩니다. k가 클수록 빨리 식습니다. 물체가 작거나 얇을수록, 표면적이 넓을수록, 젓거나 바람이 불수록 k가 커집니다. 수학적으로 온도는 주위 온도에 한없이 가까워질 뿐 정확히 같아지지는 않으므로, 목표 온도를 T_a와 같거나 그 너머로 두면 해가 없습니다.
흔한 실수
- 1/s 단위의 k를 분 단위 시간과 함께 쓰는 경우
- 목표 온도가 T₀와 T_a 사이에 있지 않은 경우(로그 계산이 불가능합니다)
- 내부 온도 차가 큰 크거나 열전도가 낮은 물체에 그대로 적용하는 경우
- 증발이나 상변화에 따른 추가 냉각을 무시하는 경우
자주 묻는 질문
제 물체의 k는 어떻게 구하나요?
두 시점의 온도를 재서 k = ln[(T₁ − T_a)/(T₂ − T_a)] / (t₂ − t₁)로 계산합니다.
데워지는 경우에도 쓸 수 있나요?
네. 주위가 더 따뜻하면 같은 식이 물체가 데워지는 과정을 나타냅니다.
뜨거운 물이 찬물보다 빨리 언다는 말은 사실인가요?
음펨바 효과라 불리는 이 현상은 단순한 뉴턴 냉각 모델로는 설명되지 않으며 여전히 논쟁 중입니다.
출처: Incropera, DeWitt, Bergman and Lavine, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, Wiley (lumped capacitance method) · Isaac Newton, "Scala graduum caloris", Philosophical Transactions of the Royal Society, 1701