홍라이프 계산기나이퀴스트·에일리어싱 주파수 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
신호를 표본화하면 샘플링 주파수의 절반보다 높은 성분은 제대로 나타낼 수 없습니다. 이런 성분은 낮은 쪽으로 접혀 들어와 실제로는 없던 가짜 주파수로 나타나는데, 이를 에일리어스(alias)라고 합니다. 이 계산기는 샘플링 주파수에 대한 나이퀴스트 주파수와, 입력 주파수가 표본화 뒤 어디에 나타나는지를 알려 줍니다. 오디오, 계측 데이터 수집, 진동 분석, 안티에일리어싱 필터 필요 여부 판단에 쓰입니다.
계산 방법
- 나이퀴스트 주파수: f_N = f_s ÷ 2
- 에일리어스 주파수: f_alias = |f − k × f_s|, 여기서 k는 f ÷ f_s에 가장 가까운 정수
단위는 모두 Hz입니다. f가 f_N보다 낮으면 k = 0이므로 결과는 f 그대로입니다.
원리
표본화된 수열은 띄엄띄엄한 순간의 값만 압니다. 주파수 f인 사인파와 f + f_s(또는 f − f_s)인 사인파는 표본 점을 똑같이 지나가므로 표본화한 뒤에는 서로 구별할 수 없습니다. 그래서 표본화된 신호의 스펙트럼은 f_s마다 반복되고, f_s/2의 배수를 기준으로 거울처럼 뒤집힙니다. 나이퀴스트–섀넌 표본화 정리에 따르면 신호에 f_s/2를 넘는 성분이 없으면 원신호를 완전히 복원할 수 있고, 그 한계를 넘는 성분은 마주 보는 두 거울 사이의 빛처럼 반사되어 0~f_N 대역 어딘가에 떨어집니다.
예제 풀이
- 입력값: f_s = 44,100 Hz, f = 30,000 Hz
- 나이퀴스트: 44,100 ÷ 2 = 22,050 Hz. 신호가 이보다 높으므로 에일리어싱이 생깁니다.
- f ÷ f_s = 30,000 ÷ 44,100 = 0.680 → 가장 가까운 정수 k = 1
- 에일리어스: |30,000 − 44,100| = 14,100 Hz
즉 필터 없이 44.1 kHz로 녹음한 30 kHz 신호는 귀에 들리는 14.1 kHz 소리로 나타납니다.
| 샘플레이트 (Hz) | 나이퀴스트 (Hz) |
|---|---|
| 11,025 | 5,512.5 |
| 22,050 | 11,025 |
| 33,075 | 16,537.5 |
| 44,100 | 22,050 |
| 55,125 | 27,562.5 |
| 66,150 | 33,075 |
| 88,200 | 44,100 |
결과 해석
에일리어스는 언제나 0과 f_N 사이에 있습니다. 관심 대역 안에 떨어진 에일리어스는 진짜 신호와 섞여 나중에 어떤 필터로도 분리할 수 없으므로 심각한 문제입니다. 정확히 f_N에 있는 신호는 위상에 따라 온전히 잡히기도 하고 전혀 잡히지 않기도 합니다. 실무에서는 필터가 감쇠할 여유를 두기 위해 관심 최고 주파수의 2.2~2.5배 이상으로 샘플링하는 것이 보통입니다.
흔한 실수
- 들리지 않는 주파수는 상관없다고 생각하는 경우(초음파 잡음과 고조파도 가청 대역으로 접혀 들어옵니다)
- 변환기 뒤에서 필터링하는 경우(안티에일리어싱은 표본화 전에 해야 합니다)
- 소프트웨어에서 다운샘플링할 때 저역 통과 필터를 빠뜨리는 경우
자주 묻는 질문
CD는 왜 44.1 kHz를 쓰나요?
나이퀴스트 주파수가 22.05 kHz가 되어 가청 한계인 약 20 kHz를 조금 넘고, 그 사이에 안티에일리어싱 필터가 동작할 좁은 대역이 생기기 때문입니다.
영화에서 바퀴가 거꾸로 도는 현상도 에일리어싱인가요?
그렇습니다. 카메라가 초당 프레임 수로 움직임을 표본화하므로 바퀴 회전이 그 배수에 가까우면 느리거나 멈추거나 거꾸로 도는 것처럼 보입니다.
생긴 에일리어싱을 나중에 없앨 수 있나요?
대부분 불가능합니다. 필터링이나 높은 샘플링 주파수로 미리 막는 것이 유일하게 확실한 방법입니다.
출처: C. E. Shannon, "Communication in the Presence of Noise," Proceedings of the IRE, 1949 · A. V. Oppenheim and R. W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, Pearson