홍라이프 계산기궤도 주기·속도 계산 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 위성이나 행성이 궤도를 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간과, 궤도 위 임의의 지점에서의 속도를 구합니다. 주기는 케플러 제3법칙, 속도는 활력 방정식(vis-viva)을 쓰며, 중심 천체의 중력 변수 μ = GM만 알면 원궤도와 타원궤도 모두에 적용할 수 있습니다. 인공위성 궤도 확인, 역학 과제, 간단한 임무 구상에 씁니다.
계산 방법
- 주기: T = 2π × √(a³ ÷ μ), 분 단위로 표시합니다.
- 반지름 r에서의 속도: v = √(μ × (2/r − 1/a)), km/s 단위입니다.
a는 긴반지름(타원 긴지름의 절반), r은 중심 천체의 중심에서 잰 현재 거리로 모두 km이며, μ는 km³/s²(지구 398,600.4418)입니다. 원궤도라면 r = a이고 속도는 √(μ/a)가 됩니다.
원리
뉴턴은 거리의 제곱에 반비례하는 중력이 타원궤도를 만들고, 주기의 제곱이 긴반지름의 세제곱에 비례함을 보였습니다. 정확히 쓰면 T² = 4π²a³/μ로, 주기는 궤도의 크기에만 달려 있고 모양과는 무관합니다. 활력 방정식은 에너지 보존에서 나옵니다. 단위 질량당 궤도 에너지 −μ/(2a)는 궤도 어디서나 같고, 운동에너지 v²/2와 위치에너지 −μ/r의 합과 같으므로 v² = μ(2/r − 1/a)가 됩니다. 그래서 위성은 가장 가까운 곳에서 가장 빠르고, 가장 먼 곳에서 가장 느립니다.
예제 풀이
- 기본값은 a = r = 6,771 km(고도 약 400 km 원궤도, 국제우주정거장과 비슷), μ = 398,600.4418 km³/s²입니다.
- a³ ÷ μ = 6,771³ ÷ 398,600.4418 = 778,790.54 s²입니다.
- T = 2π × √778,790.54 = 5,544.86초 = 92.4142516분입니다.
- v = √(398,600.4418 ÷ 6,771) = 7.672598648 km/s입니다.
| 궤도 긴반지름 (km) | 주기 (분) |
|---|---|
| 1,693 | 11.55178145 |
| 3,386 | 32.67337199 |
| 5,078 | 60.02481717 |
| 6,771 | 92.4142516 |
| 8,464 | 129.1528429 |
| 10,156 | 169.775821 |
| 13,542 | 261.3869759 |
결과 해석
지구 저궤도의 주기는 대략 88~100분입니다. r = 42,164 km이면 주기가 약 1,436분, 즉 항성일 하루가 되어 정지궤도 위성이 하늘에 멈춰 있는 것처럼 보입니다. r이 a보다 작으면 타원궤도의 안쪽, 빠른 구간에 있다는 뜻입니다. 어느 반지름에서든 탈출 속도는 그곳 원궤도 속도의 √2배로, 6,771 km에서는 약 10.85 km/s입니다.
흔한 실수
- 중심 반지름 대신 고도를 넣는 경우
- km 단위 거리와 m³/s² 단위 μ를 섞어 10⁹배 틀리는 경우
- r을 2a보다 크게 넣는 경우(타원 위에 그런 점이 없어 속도가 나오지 않습니다)
자주 묻는 질문
무거운 위성은 더 느리게 도나요?
아닙니다. 위성 질량이 행성에 비해 매우 작으면 주기와 속도는 위성 자신의 질량과 무관합니다.
다른 천체의 μ는 얼마인가요?
태양은 약 1.327 × 10¹¹ km³/s², 달은 약 4,902.8 km³/s²입니다.
'vis-viva'는 무슨 뜻인가요?
라틴어로 '살아 있는 힘'이라는 뜻으로, 오늘날 운동에너지에 해당하는 옛 개념의 이름입니다.
출처: Curtis H.D., Orbital Mechanics for Engineering Students, Elsevier · Vallado D.A., Fundamentals of Astrodynamics and Applications, Microcosm Press · NASA JPL Solar System Dynamics, astrodynamic parameters