홍라이프 계산기단진자 주기 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
단진자는 가벼운 줄이나 막대 끝에 작은 추를 매달아 중력으로 흔들리게 한 장치입니다. 한 번 갔다가 돌아오는 데 걸리는 시간인 주기는 거의 길이와 중력 가속도로만 정해집니다. 이 계산기는 작은 각도 근사의 주기, 진폭을 고려해 보정한 주기, 진동수를 구합니다. 물리 실험, 진자 시계, 중력 가속도 측정, 매달린 물체의 흔들림 시간을 확인할 때 쓰입니다.
계산 방법
- 작은 각도 주기: T₀ = 2π√(L ÷ g)입니다. L은 매단 점에서 추의 중심까지의 길이(m), g는 중력 가속도(m/s²)이며 기본값은 표준 중력 9.80665 m/s²입니다.
- 진폭 보정: T ≈ T₀ × (1 + θ₀²/16 + 11θ₀⁴/3072)이며, θ₀는 진폭을 라디안으로 바꾼 값입니다.
- 진동수: f = 1 ÷ T₀(Hz)로, 작은 각도 주기를 기준으로 합니다.
원리
추가 θ만큼 기울면 중력은 원호를 따라 sin θ에 비례하는 복원력을 줍니다. 각이 작으면 sin θ ≈ θ이므로 복원력이 변위에 비례하는 단순 조화 운동이 되고, 각진동수는 √(g ÷ L)입니다. 복원력과 관성이 모두 질량에 비례해 질량이 약분되므로 무거운 추와 가벼운 추가 같은 주기로 흔들립니다. 이 등시성을 갈릴레이가 관찰했고, 하위헌스가 이를 이용해 진자 시계를 만들었습니다.
진폭이 커지면 sin θ가 θ보다 작아져 복원력이 상대적으로 약해지고 주기가 조금 길어집니다. 정확한 주기는 타원 적분으로 표현되며, 보정식은 이를 급수로 전개한 것입니다.
예제 풀이
- 입력값: L = 1 m, 진폭 10°, g = 9.80665 m/s²입니다.
- T₀ = 2π × √(1 ÷ 9.80665) = 2π × 0.319333 ≈ 2.006409293초입니다.
- θ₀ = 10 × π ÷ 180 = 0.174533 rad이므로 보정 계수는 1 + 0.0019039 + 0.0000033 = 1.0019072입니다.
- T ≈ 2.006409293 × 1.0019072 ≈ 2.010235879초입니다.
- f = 1 ÷ 2.006409293 ≈ 0.4984027953 Hz입니다.
| g (m/s²) | 주기, 작은 진폭 근사 (s) |
|---|---|
| 2.45 | 4.012820631 |
| 4.9 | 2.83749268 |
| 7.35 | 2.316801497 |
| 9.81 | 2.006409293 |
| 12.3 | 1.794587943 |
| 14.7 | 1.638224935 |
| 19.6 | 1.418745617 |
결과 해석
진폭 10°에서는 주기가 약 0.19%만 늘어나므로 대부분의 경우 작은 각도 공식으로 충분합니다. 주기는 길이의 제곱근에 비례해 길이가 4배면 주기는 2배입니다. 한쪽으로 흔들리는 데 1초가 걸리는(T = 2초) 초진자의 길이는 표준 중력에서 약 0.994 m입니다. 진폭 90°에서는 보정식이 약 1.176배를 주어 정확한 값 1.180배보다 조금 작으므로, 아주 큰 진폭은 주의해서 보십시오.
흔한 실수
- 추의 중심이 아니라 추의 윗부분까지 길이를 재는 경우
- 수직선에서 벌어진 각 대신 좌우 전체 흔들림 폭을 진폭으로 넣는 경우
- 단단한 막대나 큰 추를 단진자로 계산하는 경우(물리 진자 공식이 필요합니다)
자주 묻는 질문
추의 질량이 주기에 영향을 주나요?
이상적인 단진자에서는 주지 않습니다. 질량은 공기 저항 속에서 얼마나 오래 흔들리는지에만 영향을 줍니다.
진자로 중력 가속도를 재려면 어떻게 하나요?
여러 번 흔들린 시간을 재어 T를 구한 뒤 g = 4π²L ÷ T²로 계산합니다. 20회 이상 재면 반응 시간 오차가 줄어듭니다.
달에서는 주기가 어떻게 되나요?
중력이 지구의 약 6분의 1이므로 같은 길이에서 주기가 약 √6 ≈ 2.45배 길어집니다.
출처: Halliday, Resnick, Walker, Fundamentals of Physics, 진동 단원 · Christiaan Huygens, Horologium Oscillatorium (1673)