홍라이프 계산기열린관·닫힌관 공명 계산 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
관 속의 공기 기둥은 특정한 진동수에서 공명합니다. 플루트, 파이프 오르간, 클라리넷, 심지어 빈 병이 소리를 내는 원리입니다. 이 계산기는 관의 길이와 소리의 속력으로 양쪽이 열린 관 또는 한쪽이 닫힌 관의 기본 진동수와 처음 다섯 개의 공명 진동수를 구합니다.
계산 방법
- 양쪽이 열린 관: fₙ = n · c / (2L), n = 1, 2, 3 … (모든 배음)
- 한쪽이 닫힌 관: fₙ = (2n − 1) · c / (4L), n = 1, 2, 3 … (홀수 배음만)
L은 관의 길이(m), c는 소리의 속력(m/s)입니다. 건조한 공기에서 c ≈ 331.3 + 0.606 · θ m/s(θ는 섭씨온도)이며, 20 °C에서 약 343 m/s입니다. 이 계산기는 관 끝 보정을 무시합니다.
원리
관 속의 소리는 압력파이며 양 끝에서 반사되어 정상파를 만듭니다. 열린 끝에서는 압력이 대기압에 가깝게 유지되므로 압력의 마디이자 공기 변위의 배가 됩니다. 닫힌 끝에서는 공기가 움직일 수 없으므로 변위의 마디가 됩니다. 열린관에는 반파장이 정수 개 들어가야 하므로 L = nλ/2, fₙ = nc/(2L)입니다. 닫힌관에는 4분의 1 파장이 홀수 개 들어가야 하므로 L = (2n − 1)λ/4가 됩니다. 그래서 기본 진동수의 홀수배만 나타나고, 길이가 같은 열린관보다 한 옥타브 낮은 소리가 납니다.
예제 풀이
- 입력값은 L = 0.5 m, c = 343 m/s, 양쪽이 열린 관입니다.
- 기본 진동수는 f₁ = 343 / (2 × 0.5) = 343 Hz입니다.
- 배음은 n × 343 Hz이므로 343, 686, 1,029, 1,372, 1,715 Hz입니다.
같은 관의 한쪽을 막으면 f₁ = 343 / (4 × 0.5) = 171.5 Hz가 되고, 이어서 514.5, 857.5 Hz … 가 나타납니다.
| 관 길이 (m) | 기본 진동수 (Hz) |
|---|---|
| 0.125 | 1,372 |
| 0.25 | 686 |
| 0.375 | 457.3333333 |
| 0.5 | 343 |
| 0.625 | 274.4 |
| 0.75 | 228.6666667 |
| 1 | 171.5 |
결과 해석
관이 길수록 음이 낮아지며 진동수는 길이에 반비례합니다. 길이를 절반으로 줄이면 진동수는 두 배가 됩니다. 공기가 따뜻해지면 c가 커져 음이 높아지는데, 상온 부근에서 1 °C마다 약 0.17%입니다. 관악기를 불어 데우면 음이 올라가는 이유입니다. 닫힌관은 짝수 배음이 없어 속이 빈 듯한 음색을 내며, 클라리넷 저음역의 특징이 여기서 나옵니다.
흔한 실수
- 온도와 상관없이 340 m/s로 고정해 계산하는 경우입니다.
- 관 끝 보정을 잊는 경우입니다. 테두리가 없는 열린 끝은 실제로 관 반지름의 약 0.6배만큼 길게 작용하므로 실제 음은 계산보다 조금 낮습니다.
- 오보에나 색소폰 같은 원뿔관을 한쪽이 닫힌 원통관으로 보는 경우입니다. 원뿔관은 열린관에 더 가깝게 행동합니다.
자주 묻는 질문
병을 불면 왜 길이로 예상한 것보다 낮은 소리가 나나요?
목이 좁은 병은 헬름홀츠 공명기로 작용해, 부피와 목의 크기로 정해지는 다른 공식을 따릅니다.
원하는 음을 내는 관 길이는 어떻게 구하나요?
열린관은 L = c / (2f), 닫힌관은 L = c / (4f)로 구한 뒤 관 끝 보정만큼 빼 줍니다.
관의 굵기도 음높이에 영향을 주나요?
관 끝 보정을 통해 조금 영향을 줄 뿐이며, 길이와 소리의 속력이 주된 요인입니다.
출처: N. H. Fletcher and T. D. Rossing, The Physics of Musical Instruments, Springer · H. Levine and J. Schwinger, "On the radiation of sound from an unflanged circular pipe", Physical Review 73 (1948)