홍라이프 계산기프란틀–마이어 팽창 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 초음속 흐름이 볼록한 모서리를 돌아 바깥쪽으로 꺾일 때 일어나는 변화를 구합니다. 꺾이기 전후의 프란틀–마이어 각, 새 마하수, 압력비, 온도비, 밀도비를 보여 주며, 마하각과 더 꺾을 수 있는 최대 각도도 알려 줍니다. 초음속 공기역학과 노즐 설계 수업에 쓰입니다.
계산 방법
ν(M) = √((γ+1)/(γ−1)) × atan √((γ−1)(M²−1)/(γ+1)) − atan √(M² − 1)
ν₂ = ν₁ + θ이며, ν(M₂) = ν₂를 수치적으로 풀어 M₂를 구합니다.
T₂/T₁ = (1 + (γ−1)M₁²/2) ÷ (1 + (γ−1)M₂²/2)
p₂/p₁ = (T₂/T₁)^(γ/(γ−1)), ρ₂/ρ₁ = (T₂/T₁)^(1/(γ−1))
마하각 μ = arcsin(1/M)
원리
초음속 흐름이 바깥쪽으로 꺾이면 충격파가 아니라 약한 마하파들의 부채꼴을 지나며 부드럽게 팽창합니다. 각 마하파는 흐름을 조금씩 꺾고 빠르게 합니다. 프란틀–마이어 함수는 음속 흐름이 마하수 M이 되기 위해 꺾여야 하는 전체 각이므로, 벽의 꺾임각을 더하면 새 ν와 새 마하수가 나옵니다. 이 과정은 등엔트로피이므로 압력, 온도, 밀도는 등엔트로피 관계를 따릅니다. γ = 1.4에서 ν는 최대 약 130.45°이며, 이는 진공까지 팽창하는 경우입니다.
예제 풀이
기본값인 M₁ = 2, θ = 10°, γ = 1.4로 계산합니다.
- ν₁ = ν(2) = 26.38°, ν₂ = 26.38 + 10 = 36.38°입니다.
- ν(M₂) = 36.38°을 풀면 M₂ = 2.3849입니다.
- T₂/T₁ = 1.8 ÷ (1 + 0.2 × 2.3849²) = 0.8421입니다.
- p₂/p₁ = 0.548, ρ₂/ρ₁ = 0.6507입니다.
- 마하각 μ₁ = 30°, μ₂ = 24.791°, 더 꺾을 수 있는 최대 각 = 104.074°입니다.
| 벽면 꺾임각 θ (°) | 하류 마하수 M₂ |
|---|---|
| 2.5 | 2.0919 |
| 5 | 2.1864 |
| 7.5 | 2.284 |
| 10 | 2.3849 |
| 12.5 | 2.4896 |
| 15 | 2.5984 |
| 20 | 2.8306 |
결과 해석
팽창은 충격파와 반대로 압력과 온도를 낮추고 마하수를 높입니다. 팽창은 가역 과정이어서 충격파와 달리 전압 손실이 없습니다. 작은 받음각의 다이아몬드형 날개에서는 앞면의 충격파와 뒷면의 팽창 부채꼴이 함께 양력과 조파 항력을 만듭니다.
흔한 실수
- 충격파가 생기는 압축 꺾임에 프란틀–마이어 관계를 쓰는 경우
- 손 계산에서 라디안 자리에 도를 넣는 경우
- 아음속 흐름에도 이 식이 맞을 것이라 기대하는 경우
자주 묻는 질문
볼록한 모서리에서 흐름이 빨라지는 이유는 무엇입니까?
꺾이면서 흐름이 팽창해 압력이 속도로 바뀌기 때문입니다.
꺾을 수 있는 각도에 한계가 있습니까?
그렇습니다. 최대 프란틀–마이어 각을 넘으면 진공까지 팽창하게 됩니다.
팽창 부채꼴에서 전압이 줄어듭니까?
아닙니다. 등엔트로피 과정입니다.
마하각을 두 개 보여 주는 이유는 무엇입니까?
팽창 부채꼴은 꺾임 시작과 끝의 마하선으로 둘러싸여 있기 때문입니다.
로켓 노즐 설계에도 쓰입니까?
그렇습니다. 노즐 확대부의 벽 모양을 정하는 특성곡선법이 같은 함수를 씁니다.
출처: NASA Glenn Research Center, Beginner's Guide to Aeronautics, "Prandtl-Meyer Angle" and "Expansion Fan"