홍라이프 계산기포물선 운동 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
포물선 운동은 던져진 뒤 중력만 받으며 움직이는 물체의 운동입니다. 던진 공, 분수의 물줄기, 절벽에서 찬 돌 등이 그 예입니다. 이 계산기는 공기저항이 없다고 보고 발사 속력, 발사각, 발사 높이, 중력가속도로부터 수평 도달거리, 비행시간, 최고 높이, 착지 속력을 구합니다. 물리 수업이나 운동 경기의 감을 잡을 때, 첫 어림값이 필요할 때 사용합니다.
계산 방법
- 처음 속도를 나눕니다: vₓ = v cos θ(수평), v_y = v sin θ(수직)
- 비행시간: t = (v_y + √(v_y² + 2gh₀)) ÷ g이며, h₀ + v_y t − ½gt² = 0의 양의 근, 즉 지면에 닿는 시각입니다.
- 수평 도달거리: R = vₓ × t
- 최고 높이: H = h₀ + v_y² ÷ (2g)
- 착지 속력: √(vₓ² + (v_y − gt)²)
단위는 m/s, 도(°), m, m/s²이며, 기본값 g = 9.80665 m/s²는 표준 중력가속도입니다.
원리
공기저항이 없으면 중력은 수직 방향으로만 작용하므로 수평과 수직 운동을 따로 다룰 수 있습니다. 수평 방향에는 힘이 없어 vₓ가 일정하고, 수직 방향은 가속도 −g인 등가속도 운동입니다. x = vₓt와 y = h₀ + v_y t − ½gt²를 합치면 갈릴레이가 밝힌 포물선이 됩니다. 수직 속도가 0이 되는 t = v_y ÷ g에서 최고점에 이릅니다. 착지 속력은 역학적 에너지 보존으로 v² + 2gh₀의 제곱근과 같습니다.
예제 풀이
- 입력: v = 20 m/s, θ = 45°, h₀ = 0 m, g = 9.80665 m/s²
- vₓ = v_y = 20 × cos 45° ≈ 14.1421 m/s
- h₀ = 0이므로 t = 2v_y ÷ g ≈ 2.8842 s
- 도달거리 = 14.1421 × 2.8842 ≈ 40.7886 m
- 최고 높이 = 200 ÷ 19.6133 ≈ 10.1972 m
- 착지 때 수직 속도는 −14.1421 m/s이므로 착지 속력 = 20 m/s입니다.
| 발사 속력 (m/s) | 수평 도달 거리 (m) |
|---|---|
| 5 | 2.549290532 |
| 10 | 10.19716213 |
| 15 | 22.94361479 |
| 20 | 40.78864852 |
| 25 | 63.73226331 |
| 30 | 91.77445917 |
| 40 | 163.1545941 |
결과 해석
평지에서는 R = v² sin 2θ ÷ g이므로 45°에서 가장 멀리 가며(예제 40.79 m), 30°와 60°처럼 합이 90°인 두 각은 높이와 시간은 달라도 도달거리가 같습니다. 높은 곳에서 던지면(h₀ > 0) 최적 각도는 45°보다 조금 작아집니다. 속력이 두 배가 되면 도달거리와 최고 높이는 네 배가 됩니다.
흔한 실수
- 각도를 라디안으로 입력하는 경우(이 칸은 도 단위입니다)
- 실제 공이 계산값과 같으리라 기대하는 경우(공기저항·회전·바람 때문에 보통 훨씬 짧습니다)
- h₀ > 0일 때 도달거리와 비행시간이 발사 높이가 아니라 지면(높이 0)까지의 값이라는 점을 놓치는 경우
자주 묻는 질문
가장 높이 올라가는 각도는 몇 도인가요?
90°(수직 위)이며, 높이는 v² ÷ (2g)이지만 도달거리는 0입니다.
달에서는 어떻게 계산하나요?
g ≈ 1.62 m/s²를 넣습니다. 같은 속력·각도라면 도달거리가 약 6배가 됩니다.
물체의 질량은 영향을 주나요?
공기저항이 없으면 모든 물체가 같은 가속도로 떨어지므로 영향이 없습니다.
출처: Halliday, D., Resnick, R. & Walker, J. Fundamentals of Physics (Wiley). · BIPM, SI Brochure — 표준 중력가속도 9.80665 m/s²