홍라이프 계산기도르래·애트우드 기계 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
도르래는 줄을 이용해 힘의 방향을 바꾸거나 필요한 힘을 줄여 줍니다. 이 계산기는 두 가지 대표 장치를 다룹니다. 고정 도르래 하나 양쪽에 두 물체를 매단 애트우드 기계와, 여러 가닥의 줄이 짐을 나누어 드는 복합 도르래입니다. 애트우드 기계의 가속도와 줄의 장력, 그리고 지지 줄의 수에 따른 이상적인 당기는 힘을 구하며, 물리 문제와 실험, 대략적인 인양 검토에 씁니다.
계산 방법
g = 9.80665 m/s², 질량 단위는 kg입니다.
- 애트우드 가속도: a = g (m₁ − m₂) ÷ (m₁ + m₂)입니다. 양수이면 m₁이 내려갑니다.
- 줄의 장력: T = 2 m₁ m₂ g ÷ (m₁ + m₂)(N)입니다.
- 복합 도르래로 당기는 힘: F = m₁ g ÷ n이며, n은 움직도르래를 받치는 줄의 가닥 수입니다.
원리
애트우드 기계에서는 줄의 질량과 늘어남, 도르래의 질량과 마찰을 무시하므로 양쪽 장력이 같고 두 물체의 가속도 크기도 같습니다. 각 물체에 운동 제2법칙을 쓰면 m₁g − T = m₁a, T − m₂g = m₂a입니다. 두 식을 더하면 T가 사라지는데, 움직이게 하는 힘은 무게 차이 (m₁ − m₂)g뿐이지만 이 힘이 전체 질량 m₁ + m₂를 가속해야 합니다. 그래서 자유 낙하가 느려져 18세기에 중력 가속도를 재기 쉬워졌습니다. 복합 도르래에서는 n가닥의 장력이 같아 각 가닥이 짐의 1/n을 맡는 대신, 줄을 n배 더 당겨야 하므로 한 일은 같습니다.
예제 풀이
- 입력값은 m₁ = 5 kg, m₂ = 3 kg, n = 2입니다.
- 가속도는 9.80665 × (5 − 3) ÷ 8 = 2.4517 m/s²입니다.
- 장력은 2 × 5 × 3 × 9.80665 ÷ 8 = 36.775 N입니다. 5 × (9.80665 − 2.4517)로 검산해도 같습니다.
- 복합 도르래의 힘은 5 × 9.80665 ÷ 2 = 24.517 N입니다.
| 질량 1 (kg) | 애트우드 기계 가속도 (m/s²) |
|---|---|
| 1.25 | -4.038032353 |
| 2.5 | -0.8915136364 |
| 3.75 | 1.089627778 |
| 5 | 2.4516625 |
| 6.25 | 3.44557973 |
| 7.5 | 4.20285 |
| 10 | 5.280503846 |
결과 해석
장력은 항상 두 무게(29.4 N과 49.0 N) 사이에 있습니다. 무거운 쪽은 자유 낙하하지 않고 가벼운 쪽은 끌려 올라가기 때문입니다. 두 질량이 같으면 가속도는 0, m₂가 0이면 g가 됩니다. 복합 도르래에서 줄이 두 가닥이면 이상적인 힘은 무게 49.0 N의 절반이며, 실제로는 축 마찰 때문에 이보다 더 큰 힘이 듭니다.
흔한 실수
- 고정 도르래에서 아래로 당기는 줄까지 지지 줄로 셉니다.
- 장력이 어느 한쪽의 무게와 같다고 생각합니다.
- 정밀한 실험에서 도르래의 질량과 마찰을 무시합니다.
자주 묻는 질문
고정 도르래 하나로도 힘이 줄어드나요?
아닙니다. 힘의 방향만 바뀌며 기계적 이득은 1입니다.
애트우드 기계로 g를 어떻게 구하나요?
거리 d를 내려가는 시간 t를 재서 a = 2d ÷ t²를 구한 뒤, g = a (m₁ + m₂) ÷ (m₁ − m₂)로 계산합니다.
지지 줄이 네 가닥이면 줄을 얼마나 당겨야 하나요?
들어 올리는 높이의 4배를 당겨야 하며, 이상적으로 힘은 4분의 1이 됩니다.
출처: George Atwood, A Treatise on the Rectilinear Motion and Rotation of Bodies, Cambridge, 1784 · Halliday, Resnick and Walker, Fundamentals of Physics, Wiley