홍라이프 계산기양자수 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 네 양자수(n, l, mₗ, mₛ)의 조합이 허용된 전자 상태인지 확인하고, 부껍질 이름과 껍질·부껍질의 오비탈 수와 전자 수를 알려 줍니다. 궤도 각운동량과 수소 원자의 에너지 준위도 보여 주어 원자 구조를 배우는 화학과 물리 수업에 쓰입니다.
계산 방법
- n = 1, 2, 3 …, l = 0 … n − 1, mₗ = −l … +l, mₛ = +½ 또는 −½입니다.
- 부껍질 기호: l = 0, 1, 2, 3 → s, p, d, f
- 부껍질의 오비탈 수 = 2l + 1, 전자 수 = 4l + 2, 껍질의 오비탈 수 = n², 전자 수 = 2n²
- |L| = √(l(l + 1)) ħ, 수소 에너지 Eₙ = −13.6eV ÷ n²
원리
원자 속 전자에 대한 슈뢰딩거 방정식을 풀면 특정 조합만 가능한 정수로 이름 붙은 상태들이 나옵니다. n은 크기와 에너지 껍질, l은 모양과 궤도 각운동량, mₗ은 방향을 정하고, 스핀 mₛ는 오비탈마다 두 가지 선택을 더합니다. 파울리 배타 원리에 따르면 한 원자 안에서 네 양자수가 모두 같은 전자는 없으므로, 오비탈 하나에 전자 두 개, 껍질 하나에 2n²개가 들어갑니다.
예제 풀이
기본값인 n = 3, l = 2, mₗ = −1, mₛ = +½로 확인합니다.
- l = 2는 0 … 2 안에 있고 mₗ = −1은 −2 … +2 안에 있으므로 허용된 전자 상태입니다.
- 부껍질은 3d이며, 오비탈 5개에 전자 10개가 들어갑니다.
- n = 3 껍질은 오비탈 9개, 전자 18개입니다.
- |L| = √(2 × 3) = 2.4495ħ, 수소의 E₃ = −13.6 ÷ 9 = −1.511eV입니다.
결과 해석
허용되지 않는다면 l = n이나 |mₗ| > l처럼 어떤 규칙을 어겼는지 보여 줍니다. 에너지 값은 수소에서만 정확합니다. 전자가 여럿인 원자에서는 에너지가 l에도 달려 있어 4s가 3d보다 먼저 채워집니다.
흔한 실수
- l이 n과 같아도 된다고 보는 경우
- mₗ의 크기가 l보다 커도 된다고 보는 경우
- 다전자 원자에서도 에너지가 n에만 달려 있다고 생각하는 경우
자주 묻는 질문
n = 2 껍질에는 전자가 몇 개 들어갑니까?
2n² = 8개입니다.
l이 n − 1까지만 가능한 이유는 무엇입니까?
슈뢰딩거 방정식의 해가 그 값들만 허용하기 때문입니다.
mₛ = +½는 무슨 뜻입니까?
정한 축 방향으로 전자의 스핀 성분이 '위'라는 뜻입니다.
수소의 에너지가 음수인 이유는 무엇입니까?
전자가 묶여 있기 때문이며, 0은 정지한 자유 전자의 에너지입니다.
4f 부껍질에는 전자가 몇 개 들어갑니까?
l = 3이므로 4l + 2 = 14개입니다.
스핀 양자수도 확인합니까?
mₛ는 +½과 −½ 모두 언제나 허용되므로 n, l, mₗ의 조합만 확인합니다.
출처: OpenStax, University Physics Volume 3 (2016), section 8.1 "The Hydrogen Atom" and chapter 8 key equations