홍라이프 계산기방사성 붕괴 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
방사성 원자핵은 무작위로 붕괴하지만, 많은 수가 모이면 반감기마다 남은 양의 절반이 붕괴한다는 정확한 규칙을 따릅니다. 이 계산기는 정한 시간 뒤의 남은 양과 남은 비율, 붕괴 상수, 평균 수명을 구합니다. 핵의학의 투여량 계산, 방사성 폐기물 보관 기간, 방사성 연대 측정, 물리 과제에 씁니다.
계산 방법
- N = N₀ × (½)^(t / t½)
- 남은 비율 = (½)^(t / t½) × 100%
- 붕괴 상수 λ = ln 2 / t½
- 평균 수명 τ = t½ / ln 2 = 1/λ
N₀는 원자 수, 그램, 베크렐, 분당 계수처럼 원자핵 수에 비례하는 어떤 단위든 됩니다. 반감기와 경과 시간은 같은 시간 단위여야 하며, 그러면 λ는 그 단위당 값, τ는 그 단위로 나옵니다. 기본 반감기 5730은 탄소-14의 반감기(년)입니다.
원리
원자핵 하나하나는 나이나 주변과 상관없이 단위 시간당 같은 확률 λ로 붕괴합니다. 따라서 짧은 시간 동안 붕괴하는 수는 남은 수에 비례하여 dN/dt = −λN이 됩니다. 이 식의 해는 N = N₀e^(−λt)이고, N = N₀/2로 두면 t½ = ln 2/λ를 얻습니다. 밑을 ½로 바꿔 쓴 것이 여기서 쓰는 반감기 식입니다. 평균 수명 τ는 원자핵이 평균적으로 살아남는 시간으로 반감기의 약 1.443배입니다.
예제 풀이
- 입력값: N₀ = 100, t½ = 5730, t = 10000(같은 단위, 년)입니다.
- t / t½ = 10000 ÷ 5730 = 1.74520입니다.
- (½)^1.74520 = 0.29829이므로 N = 29.83, 남은 비율은 29.83%입니다.
- λ = 0.693147 ÷ 5730 = 0.00012097(1년당)입니다.
- τ = 5730 ÷ 0.693147 = 8266.64년입니다.
| 경과 시간 (같은 단위) | 남은 양 |
|---|---|
| 2,500 | 73.90274338 |
| 5,000 | 54.61615479 |
| 7,500 | 40.36283672 |
| 10,000 | 29.82924364 |
| 12,500 | 22.04462938 |
| 15,000 | 16.29158588 |
| 20,000 | 8.897837763 |
결과 해석
반감기가 1, 2, 3번 지나면 50%, 25%, 12.5%가 남고, 10번 지나면 약 0.1%가 남습니다. 방사능(Bq)은 λN과 같으므로 같은 곡선을 따라 줄어듭니다. 반감기가 짧으면 방사능이 세지만 금방 사라지고, 길면 약하지만 오래 남습니다.
흔한 실수
- 반감기는 일, 경과 시간은 시간처럼 단위를 섞는 경우입니다.
- 반감기와 평균 수명을 혼동하는 경우입니다. 둘은 ln 2배만큼 다릅니다.
- 붕괴 생성물도 방사성일 수 있다는 점을 잊는 경우입니다.
자주 묻는 질문
1%만 남으려면 얼마나 걸리나요?
(½)^(t/t½) = 0.01을 풀면 t = t½ × log₂100 ≈ 반감기의 6.64배입니다.
온도나 압력이 반감기를 바꾸나요?
보통 조건에서는 거의 모든 붕괴 방식에서 측정할 만한 변화가 없습니다. 전자 포획 붕괴는 화학 환경에 따라 아주 조금 달라질 수 있습니다.
두 번 측정한 값으로 반감기를 구하려면 어떻게 하나요?
두 측정 사이 시간을 t라 하면 t½ = t × ln 2 ÷ ln(N₀/N)입니다.
출처: IAEA Nuclear Data Services, Live Chart of Nuclides · K. S. Krane, Introductory Nuclear Physics, Wiley