RC 저역통과·고역통과 필터 계산기

RC·RL 필터 계산 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

1차 RC 필터는 저항 하나와 커패시터 하나로 느린 신호와 빠른 신호를 나누는 간단한 회로입니다. 커패시터 양단에서 출력을 꺼내면 고주파 잡음을 줄이는 저역통과 필터가 되고, 저항 양단에서 꺼내면 직류와 느린 변동을 막는 고역통과 필터가 됩니다. 차단 주파수를 구하고, 특정 주파수의 신호가 얼마나 감쇠되고 위상이 얼마나 밀리는지 확인할 때 씁니다.

계산 방법

• 차단 주파수: f_c = 1 / (2πRC)이며 R은 Ω, C는 F 단위입니다. 입력 C는 nF이므로 10⁻⁹을 곱해 환산합니다.
• 저역통과 이득: G = −10·log₁₀(1 + (f/f_c)²) dB입니다.
• 고역통과 이득: G = −10·log₁₀(1 + (f_c/f)²) dB입니다.
• 저역통과 위상: φ = −arctan(f/f_c)이며, 고역통과 위상은 여기에 90°를 더한 값입니다.

RL 필터는 시정수가 τ = L/R이 되므로 f_c = R / (2πL)로 바꾸어 같은 식을 씁니다.

원리

커패시터의 임피던스는 1/(j2πfC)로, 주파수가 낮으면 크고 높으면 작습니다. 그래서 R과 C는 주파수에 따라 분압비가 바뀌는 전압 분배기가 됩니다. 저주파에서는 커패시터가 거의 개방 상태라 전압이 대부분 커패시터에 걸리고, 고주파에서는 거의 단락 상태라 전압이 저항에 걸립니다. f = f_c에서는 두 임피던스의 크기가 같아져 출력이 입력의 1/√2(−3.01 dB, 전력 절반)가 되고 위상은 −45°입니다. 그보다 훨씬 높은 주파수에서는 이득이 10배 주파수마다 약 20 dB씩 떨어집니다.

예제 풀이

1. 입력값: R = 1000 Ω, C = 100 nF = 1.0 × 10⁻⁷ F, 시험 주파수 f = 5000 Hz입니다.
2. RC = 1.0 × 10⁻⁴ s이므로 f_c = 1 / (2π × 10⁻⁴) = 1,591.549431 Hz입니다.
3. f/f_c = 5000 / 1591.55 = 3.1416입니다.
4. 저역통과 이득은 −10·log₁₀(1 + 9.8696) = −10.36213738 dB입니다.
5. 고역통과 이득은 −10·log₁₀(1 + 1/9.8696) = −0.4191399285 dB입니다.
6. 저역통과 위상은 −arctan(3.1416) = −72.34321285°입니다.

결과 해석

−10.4 dB는 5 kHz 신호가 저역통과 필터를 지나면 진폭이 입력의 약 30%로 줄어든다는 뜻이고, 고역통과 필터에서는 −0.42 dB(약 95%)로 거의 그대로 통과합니다. 차단 주파수보다 10배 높은 주파수에서는 약 −20 dB(10%), 100배에서는 약 −40 dB(1%)로 기억하면 편리합니다.

흔한 실수

• nF 칸에 µF 값을 넣는 경우입니다. 1 µF = 1000 nF이므로 결과가 1000배 어긋납니다.
• 각주파수 ω = 1/RC(rad/s)와 차단 주파수 f_c(Hz)를 혼동합니다. 둘은 2π배 차이가 납니다.
• 신호원 임피던스와 부하 저항이 R에 더해지거나 병렬로 붙어 실제 차단 주파수가 달라진다는 점을 놓칩니다.

자주 묻는 질문

차단 주파수를 왜 −3 dB 지점이라고 하나요?

f_c에서 진폭비가 1/√2 ≈ 0.707이 되고 20·log₁₀(0.707) ≈ −3.01 dB이기 때문입니다. 전력으로는 통과대역의 절반입니다.

시정수와 차단 주파수는 어떤 관계인가요?

시정수 τ = RC이고 f_c = 1/(2πτ)입니다. 계단 입력은 τ 뒤에 최종값의 약 63%에 이릅니다. 예제에서 τ는 0.1 ms입니다.

출처: P. Horowitz and W. Hill, The Art of Electronics, 3rd ed., Cambridge University Press, Chapter 1 · A. S. Sedra and K. C. Smith, Microelectronic Circuits, Oxford University Press