홍라이프 계산기RC 시정수 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
저항과 축전기로 이루어진 RC 회로의 시정수 τ를 구하고, 이를 이용해 충전·방전 중 임의 시각의 축전기 전압, 최종값의 99%에 이르는 시간, 같은 RC를 필터로 쓸 때의 차단 주파수(−3 dB)를 계산합니다. 지연·타이머 회로, 전원 투입 리셋, 스위치 채터링 제거, 센서 신호 평활, 간단한 저역·고역 통과 필터 설계에 널리 쓰입니다.
계산 방법
- 시정수: τ = RC입니다. R은 Ω, C는 µF를 F로 바꾸어(× 10⁻⁶) 넣으면 초(s)가 됩니다.
- 충전: v(t) = V(1 − e^(−t/τ))
- 방전(V에서 시작): v(t) = V·e^(−t/τ)
- 99% 도달 시간: t = τ·ln 100 ≈ 4.605τ
- 차단 주파수: f = 1/(2πτ) = 1/(2πRC)
원리
충전 전류는 저항을 지나므로 (V − v)/R이고, 이 전류는 축전기에 전하가 쌓이는 속도 C·dv/dt와 같습니다. 두 식을 같게 놓으면 미분방정식이 되고, 그 해가 V에 지수적으로 다가가는 곡선입니다. 핵심은 충전 속도가 남은 차이에 비례한다는 점입니다. 축전기가 찰수록 저항 양단 전압이 줄어 전류가 작아지고 충전이 느려집니다. 1τ가 지나면 남은 차이가 처음의 1/e ≈ 36.8%가 되어 약 63.2%까지 충전됩니다. 그 뒤로도 τ마다 차이가 0.368배씩 줄어 2τ에 약 86.5%, 3τ에 95.0%, 5τ에 99.3%가 됩니다. 필터에서는 축전기의 리액턴스가 R과 같아지는 주파수, 즉 출력이 입력의 1/√2로 줄어드는 지점을 τ가 정합니다.
예제 풀이
- 입력값: R = 10,000 Ω, C = 100 µF, V = 5 V, t = 1 s입니다.
- τ = 10,000 × 100 × 10⁻⁶ = 1 s입니다.
- 충전 전압은 5 × (1 − e^(−1)) = 5 × 0.632121 = 3.1606 V입니다.
- 방전 전압은 5 × e^(−1) = 1.8394 V입니다.
- 99% 도달 시간은 1 × ln 100 = 4.6052 s입니다.
- 차단 주파수는 1 ÷ (2π × 1) = 0.15915 Hz입니다.
| 저항 (Ω) | τ = RC (s) |
|---|---|
| 2,500 | 0.25 |
| 5,000 | 0.5 |
| 7,500 | 0.75 |
| 10,000 | 1 |
| 12,500 | 1.25 |
| 15,000 | 1.5 |
| 20,000 | 2 |
결과 해석
실무에서는 보통 5τ가 지나면 충전이 끝난 것으로 봅니다. t가 τ보다 훨씬 짧으면 전압은 거의 직선으로 오르고, t가 τ의 여러 배이면 사실상 최종값에 있습니다. 필터로 쓰면 차단 주파수보다 충분히 낮은 신호는 통과하고, 높은 신호는 10배 주파수마다 약 20 dB씩 줄어듭니다.
흔한 실수
- µF 칸에 F 단위 값을 넣거나, kΩ을 1000배 하지 않습니다.
- 축전기가 정확히 V에 도달한다고 생각합니다. 이론적으로는 계속 다가가기만 하며, 실무에서는 5τ면 충분합니다.
- 전원의 내부 저항이나 부하 저항을 무시합니다. 이 저항들이 R에 더해지거나 병렬로 붙어 τ가 달라집니다.
자주 묻는 질문
왜 63.2%가 기준입니까?
1 − 1/e의 값으로, 모든 1차 지수 과정에서 시정수 한 번이 지났을 때 도달하는 비율입니다.
50%에 도달하는 시간은 어떻게 구합니까?
t = −τ·ln(1 − 비율)을 쓰면 됩니다. 50%이면 t = τ·ln 2 ≈ 0.693τ입니다.
고역 통과 필터도 차단 주파수가 같습니까?
네. R과 C의 위치를 바꾸면 고역 통과 필터가 되며 차단 주파수는 똑같이 1/(2πRC)입니다.
출처: C. K. Alexander and M. N. O. Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits, McGraw-Hill, chapter on first-order circuits · P. Horowitz and W. Hill, The Art of Electronics, 3rd ed., Cambridge University Press