홍라이프 계산기환산 질량 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 두 물체의 환산 질량 μ = m₁m₂ ÷ (m₁ + m₂)를 구해 이체 문제를 일체 문제로 바꿉니다. 전체 질량, 가벼운 쪽 질량에 대한 μ의 비, 질량 중심에서 각 물체까지의 위치도 보여 주어 분자 분광학, 궤도 역학, 원자 물리에 쓰입니다.
계산 방법
μ = m₁ m₂ ÷ (m₁ + m₂)
전체 질량 M = m₁ + m₂
물체 1과 질량 중심 사이 거리 = 두 물체 간격의 m₂ ÷ M
- 질량은 u, kg 등 어떤 단위든 되며 μ도 같은 단위로 나옵니다. 1u = 1.66053906660 × 10⁻²⁷kg입니다.
원리
두 물체가 서로에게만 힘을 주고받으면 운동은 두 부분으로 나뉩니다. 질량 중심은 전체 질량으로 일정하게 움직이고, 두 물체 사이 간격은 질량 μ인 물체 하나가 고정점 둘레를 움직이는 것처럼 변합니다. 덕분에 진동하는 이원자 분자나 쌍성 같은 문제가 훨씬 쉬워집니다. μ는 항상 가벼운 질량보다 작고, 다른 쪽이 훨씬 무거우면 가벼운 질량에 가까워집니다.
예제 풀이
기본값인 m₁ = 1.008u(수소), m₂ = 35.45u(염소)로 계산합니다.
- μ = 1.008 × 35.45 ÷ (1.008 + 35.45) = 35.734 ÷ 36.458 = 0.980131u입니다.
- kg으로는 1.628 × 10⁻²⁷kg입니다.
- 전체 질량 = 36.458u, μ ÷ 가벼운 질량 = 0.9724입니다.
- 수소는 질량 중심에서 결합 길이의 0.9724만큼 떨어져 있어, 질량 중심은 염소 원자에 매우 가깝습니다.
| 물체 1의 질량 m₁ | 환산 질량 μ (입력과 같은 단위) |
|---|---|
| 0.252 | 0.250221 |
| 0.504 | 0.496935 |
| 0.756 | 0.740214 |
| 1.01 | 0.980131 |
| 1.26 | 1.21675 |
| 1.51 | 1.45015 |
| 2.02 | 1.90752 |
결과 해석
HCl의 환산 질량은 거의 수소 질량과 같아서, 분자가 진동할 때 가벼운 원자가 대부분 움직입니다. 동위 원소로 바꾸면 μ가 달라져 진동수가 이동하며, 이를 이용해 스펙트럼에서 동위 원소를 구별합니다. 전자와 양성자의 μ는 약 0.9995mₑ입니다.
흔한 실수
- 곱 ÷ 합이 아니라 질량을 그냥 더하는 경우
- 특정 동위 원소의 스펙트럼에 평균 원자량을 쓰는 경우
- 두 질량의 단위를 섞는 경우
자주 묻는 질문
환산 질량이 두 질량보다 작은 이유는 무엇입니까?
μ = m₁m₂/(m₁ + m₂)는 항상 작은 쪽 질량보다 작기 때문입니다.
두 질량이 같으면 환산 질량은 얼마입니까?
한쪽 질량의 절반입니다.
어디에 쓰입니까?
분자 진동과 회전, 쌍성의 궤도, 수소 원자의 에너지 준위 계산에 쓰입니다.
H를 D로 바꾸면 스펙트럼이 왜 달라집니까?
환산 질량이 거의 두 배가 되어 진동수가 낮아지기 때문입니다.
지구와 달에도 쓸 수 있습니까?
그렇습니다. 두 질량을 kg으로 넣으면 공전 문제의 환산 질량이 나오며, 달이 훨씬 가벼우므로 μ는 달 질량에 가깝습니다.
질량 중심 위치는 어떻게 읽습니까?
물체 1에서 질량 중심까지 거리가 두 물체 간격의 m₂/M배라는 뜻입니다.
출처: Michigan State University PHY321 (Fall 2017) lecture notes, "Two-body central-force problems" · CODATA 2018 recommended values (atomic mass constant), NIST