상대성 역설 계산기 (막대-헛간·벌레-리벳, 길이 수축)

상대론 역설 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

이 계산기는 특수상대성이론의 대표적인 두 역설, 헛간–막대(사다리) 역설과 벌레–리벳 역설을 길이 수축과 동시성의 상대성으로 풀어 봅니다. 각 좌표계에서의 수축된 길이, 막대가 들어가는지, 그리고 겉보기 모순을 푸는 시간 차이를 보여 주어 물리 수업에서 상대론 감각을 기르는 데 쓰입니다.

계산 방법

γ = 1 ÷ √(1 − v²/c²)

헛간에서 본 움직이는 막대 길이 = L_막대 ÷ γ, 막대에서 본 헛간 = L_헛간 ÷ γ

막대 좌표계에서 문이 닫히는 시간 차: Δt′ = γ v L_헛간 ÷ c² (로런츠 변환 t′ = γ(t − vx/c²)에서)

• 속도는 c에 대한 백분율, 길이는 m로 넣습니다.

원리

각 관측자는 상대의 물체가 운동 방향으로 수축되어 보입니다. 농부는 짧아진 막대가 헛간에 들어가 두 문이 동시에 닫히는 것을 봅니다. 달리는 사람은 짧아진 헛간이 막대보다 훨씬 작다고 봅니다. 둘 다 옳은 이유는 '동시'가 좌표계에 따라 다르기 때문입니다. 농부에게 동시인 두 문의 사건이 달리는 사람에게는 다른 시각에 일어납니다. 달리는 사람의 좌표계에서는 뒤 문이 닫히기 전에 앞 문이 닫혔다 열리므로 막대는 한 번도 완전히 갇히지 않습니다. 무엇이 부서지는지 같은 물리적 결과는 모든 좌표계에서 같습니다.

예제 풀이

기본값인 헛간–막대, c의 86.6%, 막대 10m, 헛간 6m로 계산합니다.

1. γ = 1 ÷ √(1 − 0.866²) = 1.9998입니다.
2. 헛간에서 본 막대는 10 ÷ 2 = 5m로 들어갑니다(예 — 두 문이 함께 닫힘).
3. 막대에서 본 헛간은 6 ÷ 2 = 3m로 들어가지 않습니다(아니요 — 이 좌표계에서는 헛간이 더 짧음).
4. 막대 좌표계에서 문 닫힘 시간 차 = 1.9998 × 0.866 × 6 ÷ c = 34.661ns입니다.
5. 벌레–리벳 항목은 다른 역설에만 해당하므로 —로 표시됩니다.

결과 해석

시간 차가 핵심입니다. 달리는 사람의 좌표계에서 두 문이 동시에 닫히지 않는다는 것을 보여 줍니다. 일상 속도에서는 γ ≈ 1이라 두 효과가 모두 사라집니다.

흔한 실수

• 동시성이 모든 좌표계에서 같다고 가정하는 경우
• 막대가 물리적으로 눌린다고 생각하는 경우
• 가속하거나 멈추는 물체에 힘의 전달을 고려하지 않고 결과를 적용하는 경우

자주 묻는 질문

막대는 정말 헛간에 들어갑니까?

헛간 좌표계에서는 들어가고 막대 좌표계에서는 들어가지 않으며, 두 설명은 서로 모순되지 않습니다.

역설을 푸는 열쇠는 무엇입니까?

동시성의 상대성입니다.

길이가 절반이 되는 속도는 얼마입니까?

γ = 2가 되는 약 c의 86.6%입니다.

리벳 역설에서 벌레는 짓눌립니까?

결과는 모든 좌표계에서 같으며, 벌레–리벳 옵션을 고르면 입력값에 대한 답을 볼 수 있습니다.

벌레–리벳 역설은 무엇입니까?

구멍 바닥의 벌레를 향해 빠르게 날아오는 리벳이 벌레에 닿는지를 묻는 문제로, 두 좌표계의 설명이 결국 같은 결과를 줍니다.

출처: OpenStax, University Physics Volume 3 (2016), chapter 5 key equations