홍라이프 계산기RLC 공진 주파수 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
인덕터와 축전기가 만드는 공진 주파수, 직렬 RLC 회로의 선택도(Q)와 대역폭, 그리고 특성 임피던스 √(L/C)를 계산합니다. 라디오 동조 회로, 대역 통과·대역 저지 필터, 발진기, 무선 충전 코일을 설계하거나 회로에서 원치 않는 링잉이 어디서 생길지 예측할 때 쓰입니다.
계산 방법
- 공진 주파수: f₀ = 1/(2π√(LC))이며, L은 mH ÷ 1000으로 H, C는 µF × 10⁻⁶으로 F로 바꿉니다.
- 선택도(직렬): Q = (1/R)√(L/C)
- 대역폭: BW = R/(2πL) = f₀/Q로, 전력이 절반(−3 dB)이 되는 두 주파수 사이의 폭입니다.
- 특성 임피던스: Z₀ = √(L/C)로, 공진 주파수에서 L(또는 C)의 리액턴스와 같습니다.
원리
인덕터의 리액턴스 2πfL은 주파수가 높을수록 커지고, 축전기의 리액턴스 1/(2πfC)는 작아집니다. 어느 한 주파수에서 두 값이 같아지는데, 둘은 부호가 반대여서 서로 상쇄됩니다. 2πfL = 1/(2πfC)를 풀면 f₀ = 1/(2π√(LC))가 나옵니다. 이때 직렬 회로는 순수한 저항 R처럼 보이므로 전류가 가장 크고 전압과 위상이 같습니다. 에너지는 L의 자기장과 C의 전기장 사이를 오가고, R이 주기마다 조금씩 소모합니다. Q는 저장된 에너지와 한 주기당 잃는 에너지를 비교한 값으로, R이 √(L/C)에 비해 작을수록 Q가 크고 공진 봉우리가 뾰족하고 좁아집니다.
예제 풀이
- 입력값: R = 10 Ω, L = 10 mH = 0.01 H, C = 1 µF = 10⁻⁶ F입니다.
- LC = 10⁻⁸이므로 √(LC) = 10⁻⁴이고, f₀ = 1 ÷ (2π × 10⁻⁴) = 1,591.55 Hz입니다(ω₀ = 10,000 rad/s).
- Z₀ = √(0.01 ÷ 10⁻⁶) = 100 Ω입니다.
- Q = 100 ÷ 10 = 10입니다.
- 대역폭은 10 ÷ (2π × 0.01) = 159.155 Hz로, 1,591.55 ÷ 10과 같습니다.
| L (mH) | 공진 주파수 (Hz) |
|---|---|
| 2.5 | 3,183.098862 |
| 5 | 2,250.79079 |
| 7.5 | 1,837.762985 |
| 10 | 1,591.549431 |
| 12.5 | 1,423.525087 |
| 15 | 1,299.494669 |
| 20 | 1,125.395395 |
결과 해석
Q가 약 0.5보다 작으면 과감쇠 상태로 링잉이 생기지 않습니다. 실용적인 LC 필터는 Q가 수~수십 정도이고, 수정 진동자나 공동 공진기는 수천 이상에 이릅니다. 직렬 공진에서는 L과 C 양단의 전압이 각각 전원 전압의 Q배가 되므로, Q가 10이고 전원이 10 V이면 축전기에 약 100 V가 걸립니다.
흔한 실수
- 병렬 공진 회로에 직렬 Q 공식을 씁니다. R이 병렬로 연결된 경우 Q = R√(C/L)로 관계가 반대입니다.
- 코일의 권선 저항을 빼먹습니다. 이 저항이 R에 더해져 Q가 낮아집니다.
- µF, nF, pF를 혼동합니다. C가 1000배 틀리면 f₀는 약 31.6배 달라집니다.
자주 묻는 질문
직렬과 병렬의 공진 주파수는 같습니까?
이상적인 부품이라면 둘 다 f₀ = 1/(2π√(LC))입니다. 코일 저항이 크면 병렬 공진 주파수가 조금 옮겨집니다.
f₀와 ω₀는 어떻게 다릅니까?
ω₀는 각주파수(rad/s)로 2πf₀와 같습니다. 이 예제에서는 1/√(LC) = 10,000 rad/s입니다.
공진 주파수를 낮추려면 어떻게 합니까?
L이나 C를 키웁니다. 제곱근에 반비례하므로 LC를 네 배로 하면 주파수가 절반이 됩니다.
출처: C. K. Alexander and M. N. O. Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits, McGraw-Hill, chapter on frequency response and resonance · The ARRL Handbook for Radio Communications, American Radio Relay League