홍라이프 계산기로켓 방정식 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
치올콥스키 로켓 방정식은 로켓 한 단이 엔진 효율과 추진제 비율만으로 낼 수 있는 속도 변화량, 즉 델타-v(Δv)를 알려 줍니다. 임무 설계에서는 이 값을 궤도 진입, 궤도 전이, 착륙에 필요한 Δv 예산과 비교합니다. 이 계산기는 비추력, 처음 질량, 나중 질량을 넣으면 Δv, 배기 속도, 질량비를 구합니다.
계산 방법
- 배기 속도: vₑ = Isp × g₀입니다. g₀ = 9.80665 m/s²(표준 중력), Isp는 초 단위입니다.
- 질량비: m₀ ÷ m_f입니다. m₀는 추진제를 채운 처음 질량, m_f는 연소 뒤 남는 질량(구조물과 탑재물)입니다. 비율만 쓰므로 두 값의 단위만 같으면 톤으로 넣어도 됩니다.
- 델타-v: Δv = vₑ × ln(m₀ ÷ m_f)(m/s)이며, ln은 자연로그입니다.
원리
로켓은 질량을 뒤로 내던져 그 반작용으로 나아갑니다. 짧은 순간 작은 질량 dm을 상대 속도 vₑ로 내뿜으면 운동량 보존에 따라 m dv = vₑ dm입니다. 연료를 태울수록 로켓이 가벼워지므로 같은 1 kg의 추진제가 뒤로 갈수록 더 큰 속도 변화를 줍니다. 이것을 m₀부터 m_f까지 적분하면 Δv = vₑ ln(m₀/m_f)가 됩니다. 로그 때문에 Δv를 두 배로 늘리려면 질량비를 두 배가 아니라 제곱으로 키워야 합니다.
비추력은 엔진 효율을 나타내는 값으로, 초당 소비하는 추진제 무게당 추력입니다. g₀를 곱하면 유효 배기 속도가 됩니다.
예제 풀이
- 입력값: Isp = 311초, m₀ = 549 t, m_f = 150 t입니다.
- vₑ = 311 × 9.80665 ≈ 3,049.86815 m/s입니다.
- 질량비 = 549 ÷ 150 = 3.66입니다.
- ln 3.66 ≈ 1.297463입니다.
- Δv = 3,049.86815 × 1.297463 ≈ 3,957.091529 m/s입니다.
| 비추력 Isp (s) | Δv (m/s) |
|---|---|
| 77.8 | 989.2728823 |
| 156 | 1,978.545765 |
| 233 | 2,967.818647 |
| 311 | 3,957.091529 |
| 389 | 4,946.364411 |
| 466 | 5,935.637294 |
| 622 | 7,914.183058 |
결과 해석
약 4 km/s는 큰 값이지만, 지구 저궤도에 오르려면 궤도 속도 7.8 km/s에 중력 손실과 공기 저항 손실을 더해 대략 9~10 km/s가 필요합니다. 한 단으로는 비현실적인 질량비가 필요하므로 로켓은 빈 연료 탱크와 엔진을 단계적으로 버리는 다단 방식을 씁니다. 단마다 가벼워진 질량으로 방정식을 새로 시작하는 셈입니다. 비추력은 Δv를 비례로 늘리며, 화학 엔진은 고체 모터의 약 250~300초부터 진공에서의 액체수소·액체산소 엔진 약 450초까지 다양합니다.
흔한 실수
- 자연로그 대신 상용로그를 쓰는 경우
- 추진제 질량을 m_f로 넣는 경우(m_f는 연소 뒤 남는 질량입니다)
- 여러 단의 Δv를 같은 나중 질량으로 계산하는 경우
자주 묻는 질문
우주에서도 g₀를 곱하는 이유는 무엇인가요?
g₀는 단위 환산일 뿐입니다. 비추력이 표준 중력으로 정의되어 있어 초를 속도로 되돌릴 때 쓰며, 그 장소의 중력과는 관계가 없습니다.
목표 Δv에 필요한 추진제는 어떻게 구하나요?
m₀ ÷ m_f = e^(Δv/vₑ)로 바꿉니다. vₑ = 3,050 m/s로 3,957 m/s를 얻으려면 질량비가 약 3.66이어야 합니다.
해수면과 진공에서 비추력이 같나요?
다릅니다. 대기의 배압 때문에 해수면 비추력이 진공 비추력보다 낮습니다.
출처: K. E. Tsiolkovsky, 「반작용 장치에 의한 우주 공간 탐사」(1903) · G. P. Sutton, O. Biblarz, Rocket Propulsion Elements, Wiley