홍라이프 계산기수소 스펙트럼 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
수소 원자의 전자가 높은 에너지 준위에서 낮은 준위로 떨어지면 정확히 정해진 파장의 빛을 냅니다. 뤼드베리 식은 그 파장을 예측합니다. 이 계산기는 낮은 준위, 높은 준위, 핵전하를 넣으면 전이의 파장과 에너지를 구합니다. 화학·물리 수업, 천문학의 H-알파 관측, 분광학에서 씁니다.
계산 방법
1/λ = R × Z² × (1/n₁² − 1/n₂²)
E = hc/λ = 13.598 eV × Z² × (1/n₁² − 1/n₂²)
n₁은 낮은 준위, n₂는 높은 준위로 n₂ > n₁인 자연수입니다. Z는 핵전하로 수소 1, He⁺ 2, Li²⁺ 3처럼 전자가 하나인 이온에 씁니다. 파장에는 수소 원자핵의 질량을 반영한 R_H = 1.0967758 × 10⁷ m⁻¹를 쓰고 nm로 바꿉니다. 에너지도 같은 R_H로 hc/λ를 구하므로, 원자핵이 무한히 무겁다고 본 13.6057 eV 대신 13.598 eV가 쓰여 두 결과가 항상 일치합니다.
원리
보어 모형에서, 그리고 전자가 하나인 원자에서는 양자역학에서도 정확히, 준위 n의 에너지는 −13.6 eV × Z²/n²입니다. 전자가 n₂에서 n₁로 떨어질 때 에너지 차이만큼의 광자가 나오며 λ = hc/ΔE입니다. 원자핵도 유한한 질량을 가져 전자와 함께 공통 질량 중심을 돌기 때문에, 전자 질량 대신 환산 질량을 쓰면 뤼드베리 상수가 R∞ = 1.09737 × 10⁷ m⁻¹에서 R_H로 조금 작아집니다.
예제 풀이
- 입력값: n₁ = 2, n₂ = 3, Z = 1입니다.
- 1/2² − 1/3² = 0.25 − 0.11111 = 0.138889입니다.
- 1/λ = 1.0967758 × 10⁷ × 0.138889 = 1.52330 × 10⁶ m⁻¹이므로 λ = 656.47 nm(빨간색 H-알파선)입니다.
- E = 13.598 × 0.138889 = 1.88865095 eV입니다.
검산하면 hc/λ = 1239.842 eV·nm ÷ 656.47 nm = 1.8887 eV로 같습니다. R_H 대신 R∞를 쓰면 약 1.8897 eV로 0.05% 커집니다.
| 핵전하 Z | 파장 (nm) |
|---|---|
| 0.25 | 10,503.51403 |
| 0.5 | 2,625.878507 |
| 0.75 | 1,167.057114 |
| 1 | 656.4696267 |
| 1.25 | 420.1405611 |
| 1.5 | 291.7642785 |
| 2 | 164.1174067 |
결과 해석
n₁ = 1은 자외선 영역의 라이먼 계열(라이먼-알파 121.6 nm), n₁ = 2는 대부분 가시광선인 발머 계열(656, 486, 434, 410 nm), n₁ = 3은 적외선의 파셴 계열입니다. n₂가 커질수록 선들이 계열 한계로 몰리며, 발머 계열의 한계는 약 364.6 nm입니다.
흔한 실수
- n₁에 더 큰 수를 넣어 음수가 나오는 경우입니다.
- 계산한 진공 파장을 공기 중 파장표와 비교하는 경우입니다. H-알파의 공기 중 파장은 656.28 nm입니다.
- 중성 헬륨처럼 전자가 여러 개인 원자에 적용하는 경우입니다.
자주 묻는 질문
천문학에서 H-알파선을 많이 쓰는 이유는 무엇인가요?
수소의 가시광선 중 가장 강한 선이어서 656 nm 필터로 성운의 이온화된 수소나 태양 채층을 볼 수 있기 때문입니다.
수소의 이온화 에너지는 얼마인가요?
n₁ = 1, n₂를 무한대로 두면 약 13.6 eV, 파장으로는 91.2 nm입니다.
흡수선에도 쓸 수 있나요?
네. n₁에서 n₂로의 흡수는 n₂에서 n₁로의 방출과 같은 파장에서 일어납니다.
출처: N. Bohr, Philosophical Magazine 26, 1 (1913) · CODATA 2018 recommended values, Rydberg constant (NIST) · NIST Atomic Spectra Database