샐런-키 2차 저역통과 필터 계산기

샐런-키 저역통과 필터 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

샐런-키(Sallen-Key) 회로는 저항 2개, 커패시터 2개, 전압 폴로어로 연결한 연산증폭기 1개로 만드는 2차 능동 저역통과 필터입니다. 차단 주파수 위에서 10배 주파수마다 40 dB씩 감쇠하므로 1차 RC 필터보다 두 배 가파르며, ADC 앞단의 앨리어싱 방지, 오디오 크로스오버, 센서 신호 평활에 널리 쓰입니다. 네 소자 값을 넣으면 고유 주파수와 품질 계수 Q를 구할 수 있습니다.

계산 방법

• 고유 주파수: f₀ = 1 / (2π√(R1·R2·C1·C2))이며 R은 Ω, C는 F 단위입니다. 입력은 nF이므로 10⁻⁹을 곱합니다.
• 품질 계수(이득 1): Q = √(R1·R2·C1·C2) / (C2·(R1 + R2))입니다.

C1은 R1과 R2 사이 접점에서 연산증폭기 출력으로 이어지는 커패시터, C2는 비반전 입력과 접지 사이의 커패시터입니다. R1 = R2이면 Q = ½·√(C1/C2)로 간단해집니다.

원리

두 RC 구간이 주파수의 크기를 정하므로 f₀는 네 소자의 기하평균에 따라 정해지며, 1차 회로의 1/(2πRC)와 같은 꼴입니다. 핵심은 C1으로, 출력을 가운데 접점으로 되먹임합니다. f₀ 부근에서 이 양의 되먹임이 응답을 끌어올려 꺾이는 부분을 날카롭게 만들고, 그 정도를 나타내는 값이 Q입니다. Q가 0.5 이하이면 완만하게 꺾이고, Q = 1/√2 ≈ 0.707이면 통과대역이 가장 평탄한 버터워스 특성이 되며, 그보다 크면 공진 봉우리가 생깁니다.

예제 풀이

1. 입력값: R1 = R2 = 10,000 Ω, C1 = 22 nF, C2 = 10 nF입니다.
2. R1·R2·C1·C2 = 2.2 × 10⁻⁸이고 제곱근은 1.4832 × 10⁻⁴ s입니다.
3. f₀ = 1 / (2π × 1.4832 × 10⁻⁴) = 1,073.022407 Hz입니다.
4. Q = 1.4832 × 10⁻⁴ / (10×10⁻⁹ × 20,000) = 0.7416198487입니다.
5. 간편식으로 확인하면 ½·√(22/10) = 0.7416으로 버터워스보다 약간 큽니다.

결과 해석

2차 저역통과 필터는 f₀에서 이득이 Q와 같으므로, Q = 0.7416이면 1,073 Hz에서 정확히 −3 dB가 아니라 약 −2.6 dB입니다. −3 dB 지점이 f₀와 일치하는 것은 Q = 0.707일 때뿐입니다. 이 정도 Q에서는 통과대역 봉우리가 0.1 dB에 훨씬 못 미칩니다. 저항을 같게 두고 정확한 버터워스를 원하면 C1 = 2·C2로 고르면 됩니다.

흔한 실수

• C1과 C2를 바꾸어 다는 경우입니다. f₀는 같지만 Q는 약 0.34로 떨어집니다.
• 모든 Q에서 f₀를 −3 dB 주파수로 착각합니다.
• 이득대역폭이 부족한 연산증폭기를 씁니다. 대략 f₀ × Q의 100배 이상을 권장합니다.

자주 묻는 질문

버터워스 샐런-키를 빨리 설계하려면 어떻게 하나요?

두 저항을 R로 같게 하고 C2 = C, C1 = 2C로 두면 f₀ = 1 / (2πRC√2), Q = 0.707이 됩니다.

고역통과 필터로도 만들 수 있나요?

네. 저항과 커패시터의 자리를 서로 바꾸면 됩니다. f₀ 식의 꼴은 같지만 Q 식은 달라집니다.

더 가파른 필터는 어떻게 만드나요?

필터 표에 나온 Q 값으로 여러 단을 이어 붙입니다. 4차 버터워스는 Q ≈ 0.541과 1.307인 두 단을 씁니다.

출처: R. P. Sallen and E. L. Key, "A Practical Method of Designing RC Active Filters", IRE Transactions on Circuit Theory, 1955 · Texas Instruments, Analysis of the Sallen-Key Architecture, Application Report SLOA024