홍라이프 계산기슈바르츠실트 반지름·시간 지연 계산 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
슈바르츠실트 반지름은 어떤 질량이 블랙홀이 되려면 압축되어야 하는 크기로, 회전과 전하가 없는 블랙홀의 사건의 지평선 반지름입니다. 이 계산기는 태양질량 단위로 넣은 질량의 슈바르츠실트 반지름과, 중심에서 정한 거리에 정지해 있는 시계가 겪는 중력 시간 지연을 계산합니다. 물리 수업이나 블랙홀의 규모를 감 잡을 때 씁니다.
계산 방법
- 슈바르츠실트 반지름: r_s = 2GM ÷ c²이며 G = 6.6743 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻², c = 299,792,458 m/s, 태양질량 = 1.98847 × 10³⁰ kg입니다.
- 거리 r에서의 시계 빠르기: dτ/dt = √(1 − r_s/r)로, 정지한 시계가 아주 먼 곳의 시계에 비해 가는 비율입니다. r ≤ r_s이면 'inside horizon'으로 표시합니다.
입력은 질량(태양질량)과 중심으로부터의 거리(km)입니다.
원리
1916년 슈바르츠실트는 회전하지 않는 구형 질량 바깥의 시공간에 대해 아인슈타인 장방정식의 첫 엄밀해를 구했습니다. 이 해에서는 시간 항 앞에 (1 − r_s/r)이 붙습니다. 멀리서는 1이지만 r이 r_s에 다가가면 0으로 줄어, 지평선 근처에 머무는 시계는 멀리서 보면 매우 느리게 갑니다. 고전적으로 탈출 속도 √(2GM/r)가 c가 되는 반지름도 같은 2GM/c²이지만, 진짜 의미는 상대론적입니다. r_s는 질량에 비례해 태양질량당 약 2.95 km입니다.
예제 풀이
- 기본값은 M = 10 M☉, r = 100 km입니다.
- r_s = 2 × 6.6743e-11 × 1.98847e31 ÷ (299,792,458)² = 29,533.39 m = 29.53339382 km입니다.
- r_s/r = 0.295334이므로 1 − 0.295334 = 0.704666입니다.
- 시계 빠르기 = √0.704666 = 0.8394439003입니다. 그 자리의 1초가 먼 관측자에게는 약 1.19초로 보입니다.
| 질량 (태양질량) | 슈바르츠실트 반지름 (km) |
|---|---|
| 2.5 | 7.383348455 |
| 5 | 14.76669691 |
| 7.5 | 22.15004537 |
| 10 | 29.53339382 |
| 12.5 | 36.91674228 |
| 15 | 44.30009073 |
| 20 | 59.06678764 |
결과 해석
1에 가까우면 시간 지연이 거의 없습니다. 지구 표면에서는 1과의 차이가 10억분의 1도 안 되지만 GPS는 이를 보정합니다. r = 1.5 r_s(광자구)에서는 약 0.577, 3 r_s(회전하지 않는 블랙홀의 최내곽 안정 원궤도)에서는 약 0.816입니다. 태양의 r_s는 약 2.95 km, 지구는 약 9 mm입니다.
흔한 실수
- 거리를 km가 아닌 m나 r_s 배수로 넣는 경우
- 궤도를 돌거나 떨어지는 시계에 정지 공식만 적용하는 경우(속도에 의한 지연이 더해집니다)
자주 묻는 질문
지구를 압축하면 블랙홀이 되나요?
반지름 약 9 mm까지 눌러야 하며, 알려진 자연 과정으로는 불가능합니다.
사건의 지평선은 실제 표면인가요?
아닙니다. 빛도 빠져나올 수 없는 시공간의 경계이며, 큰 블랙홀이라면 떨어지는 관측자는 통과하는 순간 국소적으로 특별한 변화를 느끼지 못합니다.
우리은하 중심 블랙홀은 얼마나 큰가요?
궁수자리 A*는 약 400만 태양질량으로 r_s가 약 1,200만 km입니다.
출처: Schwarzschild K., Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie (1916) · Misner C.W., Thorne K.S., Wheeler J.A., Gravitation, W. H. Freeman, 1973 · CODATA 2018 recommended values of the fundamental physical constants (NIST)