홍라이프 계산기단면 성질 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
보가 얼마나 처지고 어느 정도의 응력을 받는지 계산하려면 먼저 단면의 기하학적 성질을 알아야 합니다. 이 계산기는 직사각형, 원형, 원형 관, 대칭 I형 단면에 대해 단면적, 단면2차모멘트 I, 단면계수 Z, 단면2차반경, 그리고 원형 단면의 극단면2차모멘트 J를 구합니다.
계산 방법
- 직사각형 b × h: A = bh, I = bh³/12, Z = bh²/6입니다.
- 원형(지름 d, b 칸에 입력): A = πd²/4, I = πd⁴/64, Z = πd³/32, J = πd⁴/32입니다.
- 원형 관(바깥지름 D, 안지름 d): A = π(D² − d²)/4, I = π(D⁴ − d⁴)/64, Z = π(D⁴ − d⁴)/(32D), J = π(D⁴ − d⁴)/32입니다.
- 대칭 I형: A = 2b·t_f + (h − 2t_f)·t_w, I = [bh³ − (b − t_w)(h − 2t_f)³]/12, Z = I ÷ (h/2)입니다.
- 단면2차반경: r = √(I/A)입니다. 길이가 모두 mm이므로 I는 mm⁴, Z는 mm³입니다.
원리
보가 휘면 중립축에서 먼 섬유일수록 많이 늘어나거나 줄어들고, 그 저항은 거리의 제곱에 비례해 커집니다. 단면 전체에 대해 면적 × 거리²을 더한 것이 I이며 보의 강성을 좌우합니다. 굽힘응력은 σ = M·y/I로 가장 바깥 섬유(y = c)에서 최대가 되므로, Z = I/c를 쓰면 σ = M/Z로 바로 최대 응력을 얻습니다. I형 식은 b × h 직사각형 전체에서 웨브 양옆의 빈 직사각형 두 개를 뺀 것입니다. 높이가 세제곱으로 들어가므로 재료를 중심에서 멀리 두는 것이 강성을 높이는 가장 효율적인 방법입니다.
예제 풀이
- 입력값: 직사각형, b = 100 mm, h = 200 mm입니다. 플랜지와 웨브 두께는 이 형상에서 쓰이지 않습니다.
- 단면적은 100 × 200 = 20,000 mm²입니다.
- I = 100 × 200³ ÷ 12 = 66,666,666.67 mm⁴입니다.
- Z = 100 × 200² ÷ 6 = 666,666.6667 mm³입니다.
- r = √(66,666,666.67 ÷ 20,000) ≈ 57.73503 mm입니다. J는 원형 단면에만 해당하므로 '—'로 표시됩니다.
| b / D (mm) | 단면적 (mm²) |
|---|---|
| 25 | 5,000 |
| 50 | 10,000 |
| 75 | 15,000 |
| 100 | 20,000 |
| 125 | 25,000 |
| 150 | 30,000 |
| 200 | 40,000 |
결과 해석
강성은 I로, 강도는 Z로 비교합니다. 같은 100 × 200 각재를 눕혀 b = 200, h = 100으로 쓰면 I가 4분의 1로 줄어듭니다. 단면2차반경은 좌굴 검토에 쓰이며, r이 작을수록 가늘고 좌굴하기 쉬운 부재입니다.
흔한 실수
- b와 h를 바꿔 넣습니다. h는 항상 휘는 방향의 높이입니다.
- 직사각형이나 I형에 극단면2차모멘트 J를 씁니다. 이들의 비틀림 상수는 J와 다릅니다.
- 단위 환산을 빠뜨립니다. 1 cm⁴ = 10,000 mm⁴, 1 cm³ = 1,000 mm³입니다.
자주 묻는 질문
I와 Z는 어떻게 다른가요?
I는 휨 변형에 대한 저항이고, Z는 I를 최외단 거리로 나눈 값으로 굽힘모멘트와 최대 응력을 연결합니다.
I형 단면이 효율적인 이유는 무엇인가요?
재료 대부분이 중립축에서 먼 플랜지에 있어 적은 무게로 큰 I를 얻기 때문입니다.
소성단면계수는 무엇인가요?
단면 전체가 항복할 때 쓰는 값으로, 직사각형은 bh²/4이며 탄성 단면계수의 1.5배입니다.
출처: W. C. Young and R. G. Budynas, Roark's Formulas for Stress and Strain, McGraw-Hill · J. M. Gere and B. J. Goodno, Mechanics of Materials, Cengage